Πολυώνυμο Taylor

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3709
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Πολυώνυμο Taylor

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Φεβ 13, 2019 10:52 pm

Έστω A \in \mathbb{R}^{n \times n } σταθερός πίνακας και f\left ( \bar{x} \right )= \bar{x}^\top A \bar{x}\;\;, \;\; \bar{x} \in \mathbb{R}^n .Να υπολογιστεί το πολυώνυμο Taylor βαθμού 3 της f στο 0.


Συμπαθητική ασκησούλα , αν και υπάρχουν και άλλες παρόμοιες εκεί έξω. Από σημερινή εξέταση!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2747
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Πολυώνυμο Taylor

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Φεβ 14, 2019 10:09 am

Αν A=(a_{ij})\in{\mathbb{R}}^n\times{\mathbb{R}}^n\,, \; \overline{x}^{\top}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in{\mathbb{R}}^n, τότε f(\overline{x})=\overline{x}^{\top}A\,\overline{x}=\textstyle\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j\,.

\begin{aligned} 
\frac{\partial f}{\partial x_k}(\overline{x})&=\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{j=1}^{n}a_{kj}x_j+\mathop{\sum}\limits_{i=1}^{n}a_{ik}x_i\,,\quad k=1,2,\ldots,n\,,\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
{\rm{D}}f\,(\overline{x})&=\grad f(\overline{x})=\textstyle\Bigl(\sum_{j=1}^{n}a_{1j}x_j,\ldots,\sum_{j=1}^{n}a_{nj}x_j\Bigr)+\Bigl(\sum_{i=1}^{n}a_{i1}x_i,\ldots,\sum_{i=1}^{n}a_{in}x_i\Bigr)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=(A+A^{\top})\,\overline{x}\,,\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(\overline{x})&=a_{ij}+a_{ji}\,,\quad i,j\in\{1,2,\ldots,n\}\,,\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
H_f(\overline{x})&=A+A^{\top}\,,\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
\dfrac{\partial^3 f}{\partial x_i\partial x_j\partial x_k}(\overline{x})&=0\,,\quad i,j,k\in\{1,2,\ldots,n\}\,, 
\end{aligned}
Το πολυώνυμο Taylor 3ου βαθμού της f στο σημείο \overline{0} είναι

\begin{aligned} 
T_{3,f,\overline{0}}(\overline{x})&=\cancelto{0}{f(\overline{0})}+\cancelto{\overline{0}}{\grad f(\overline{0})}\,(\,\overline{x}-\overline{0}\,)+\frac{1}{2}\,(\,\overline{x}-\overline{0}\,)^{\top}(A+A^{\top})\,(\,\overline{x}-\overline{0}\,)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=\frac{1}{2}\,\overline{x}^{\top}(A+A^{\top})\,\overline{x}\,. 
\end{aligned}


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2190
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πολυώνυμο Taylor

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Φεβ 14, 2019 12:57 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Φεβ 13, 2019 10:52 pm
Έστω A \in \mathbb{R}^{n \times n } σταθερός πίνακας και f\left ( \bar{x} \right )= \bar{x}^\top A \bar{x}\;\;, \;\; \bar{x} \in \mathbb{R}^n .Να υπολογιστεί το πολυώνυμο Taylor βαθμού 3 της f στο 0.


Συμπαθητική ασκησούλα , αν και υπάρχουν και άλλες παρόμοιες εκεί έξω. Από σημερινή εξέταση!
Αν A=(a_{ij}),x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})^\top

τότε είναι

f(x)=\sum_{i=1}^{n}(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j})x_{i}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}x_{i}

που προφανώς είναι πολυώνυμο n μεταβλητών δευτέρου βαθμού.

Αρα τα πολυώνυμα Taylor της f βαθμού 2,3,.. σε οποιοδήποτε σημείο είναι η ίδια η f


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2747
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Πολυώνυμο Taylor

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Φεβ 14, 2019 1:37 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Φεβ 14, 2019 12:57 pm
Αν A=(a_{ij}),x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})^\top

τότε είναι

f(x)=\sum_{i=1}^{n}(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j})x_{i}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}x_{i}

που προφανώς είναι πολυώνυμο n μεταβλητών δευτέρου βαθμού.

Αρα τα πολυώνυμα Taylor της f βαθμού 2,3,.. σε οποιοδήποτε σημείο είναι η ίδια η f
Το μεγαλείο της απλής σκέψης!

Παρατήρηση: Το πολυώνυμο Taylor που υπολόγισα στην παραπάνω δημοσίευση δεν διαφέρει από το f(\overline{x}) αφού

\begin{aligned} 
T_{3,f,\overline{0}}(\overline{x})&=\frac{1}{2}\,\overline{x}^{\top}(A+A^{\top})\,\overline{x}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=\frac{1}{2}\,\big(\overline{x}^{\top}A\,\overline{x}+\overline{x}^{\top}A^{\top}\,\overline{x}\big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=\frac{1}{2}\,\big(\overline{x}^{\top}A\,\overline{x}+\big(\overline{x}^{\top}A\,\overline{x}\big)^{\top}\big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=\frac{1}{2}\,\big(\overline{x}^{\top}A\,\overline{x}+\overline{x}^{\top}A\,\overline{x}\big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=f(\overline{x})\,. 
\end{aligned}


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες