Πολυώνυμο Taylor

Tolaso J Kos · #1

Έστω $A \in \mathbb{R}^{n \times n }$ σταθερός πίνακας και $f\left ( \bar{x} \right )= \bar{x}^\top A \bar{x}\;\;, \;\; \bar{x} \in \mathbb{R}^n$ .Να υπολογιστεί το πολυώνυμο Taylor βαθμού

της

στο

.

Συμπαθητική ασκησούλα , αν και υπάρχουν και άλλες παρόμοιες εκεί έξω. Από σημερινή εξέταση!

#2

Αν $A=(a_{ij})\in{\mathbb{R}}^n\times{\mathbb{R}}^n\,, \; \overline{x}^{\top}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in{\mathbb{R}}^n$ , τότε $f(\overline{x})=\overline{x}^{\top}A\,\overline{x}=\textstyle\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j\,.$

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x_k}(\overline{x})&=\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{j=1}^{n}a_{kj}x_j+\mathop{\sum}\limits_{i=1}^{n}a_{ik}x_i\,,\quad k=1,2,\ldots,n\,,\\\noalign{\vspace{0.1cm}} {\rm{D}}f\,(\overline{x})&=\grad f(\overline{x})=\textstyle\Bigl(\sum_{j=1}^{n}a_{1j}x_j,\ldots,\sum_{j=1}^{n}a_{nj}x_j\Bigr)+\Bigl(\sum_{i=1}^{n}a_{i1}x_i,\ldots,\sum_{i=1}^{n}a_{in}x_i\Bigr)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=(A+A^{\top})\,\overline{x}\,,\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(\overline{x})&=a_{ij}+a_{ji}\,,\quad i,j\in\{1,2,\ldots,n\}\,,\\\noalign{\vspace{0.1cm}} H_f(\overline{x})&=A+A^{\top}\,,\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \dfrac{\partial^3 f}{\partial x_i\partial x_j\partial x_k}(\overline{x})&=0\,,\quad i,j,k\in\{1,2,\ldots,n\}\,, \end{aligned}$
Το πολυώνυμο Taylor 3ου βαθμού της

στο σημείο $\overline{0}$ είναι

$\begin{aligned} T_{3,f,\overline{0}}(\overline{x})&=\cancelto{0}{f(\overline{0})}+\cancelto{\overline{0}}{\grad f(\overline{0})}\,(\,\overline{x}-\overline{0}\,)+\frac{1}{2}\,(\,\overline{x}-\overline{0}\,)^{\top}(A+A^{\top})\,(\,\overline{x}-\overline{0}\,)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\frac{1}{2}\,\overline{x}^{\top}(A+A^{\top})\,\overline{x}\,. \end{aligned}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 13, 2019 10:52 pm
Έστω $A \in \mathbb{R}^{n \times n }$ σταθερός πίνακας και $f\left ( \bar{x} \right )= \bar{x}^\top A \bar{x}\;\;, \;\; \bar{x} \in \mathbb{R}^n$ .Να υπολογιστεί το πολυώνυμο Taylor βαθμού της στο .

Συμπαθητική ασκησούλα , αν και υπάρχουν και άλλες παρόμοιες εκεί έξω. Από σημερινή εξέταση!

Αν $A=(a_{ij}),x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})^\top$

τότε είναι

$f(x)=\sum_{i=1}^{n}(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j})x_{i}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}x_{i}$

που προφανώς είναι πολυώνυμο

μεταβλητών δευτέρου βαθμού.

Αρα τα πολυώνυμα Taylor της

βαθμού

σε οποιοδήποτε σημείο είναι η ίδια η

#4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 14, 2019 12:57 pm
Αν $A=(a_{ij}),x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})^\top$

τότε είναι

$f(x)=\sum_{i=1}^{n}(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j})x_{i}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}x_{i}$

που προφανώς είναι πολυώνυμο μεταβλητών δευτέρου βαθμού.

Αρα τα πολυώνυμα Taylor της βαθμού σε οποιοδήποτε σημείο είναι η ίδια η

Το μεγαλείο της απλής σκέψης!

Παρατήρηση: Το πολυώνυμο Taylor που υπολόγισα στην παραπάνω δημοσίευση δεν διαφέρει από το $f(\overline{x})$ αφού

$\begin{aligned} T_{3,f,\overline{0}}(\overline{x})&=\frac{1}{2}\,\overline{x}^{\top}(A+A^{\top})\,\overline{x}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\frac{1}{2}\,\big(\overline{x}^{\top}A\,\overline{x}+\overline{x}^{\top}A^{\top}\,\overline{x}\big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\frac{1}{2}\,\big(\overline{x}^{\top}A\,\overline{x}+\big(\overline{x}^{\top}A\,\overline{x}\big)^{\top}\big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\frac{1}{2}\,\big(\overline{x}^{\top}A\,\overline{x}+\overline{x}^{\top}A\,\overline{x}\big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=f(\overline{x})\,. \end{aligned}$

Πολυώνυμο Taylor

Πολυώνυμο Taylor

Re: Πολυώνυμο Taylor

Re: Πολυώνυμο Taylor

Re: Πολυώνυμο Taylor

Μέλη σε σύνδεση