Σελίδα 1 από 1

Πολυώνυμο Taylor

Δημοσιεύτηκε: Τετ Φεβ 13, 2019 10:52 pm
από Tolaso J Kos
Έστω A \in \mathbb{R}^{n \times n } σταθερός πίνακας και f\left ( \bar{x} \right )= \bar{x}^\top A \bar{x}\;\;, \;\; \bar{x} \in \mathbb{R}^n .Να υπολογιστεί το πολυώνυμο Taylor βαθμού 3 της f στο 0.


Συμπαθητική ασκησούλα , αν και υπάρχουν και άλλες παρόμοιες εκεί έξω. Από σημερινή εξέταση!

Re: Πολυώνυμο Taylor

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Φεβ 14, 2019 10:09 am
από grigkost
Αν A=(a_{ij})\in{\mathbb{R}}^n\times{\mathbb{R}}^n\,, \; \overline{x}^{\top}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in{\mathbb{R}}^n, τότε f(\overline{x})=\overline{x}^{\top}A\,\overline{x}=\textstyle\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j\,.

\begin{aligned} 
\frac{\partial f}{\partial x_k}(\overline{x})&=\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{j=1}^{n}a_{kj}x_j+\mathop{\sum}\limits_{i=1}^{n}a_{ik}x_i\,,\quad k=1,2,\ldots,n\,,\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
{\rm{D}}f\,(\overline{x})&=\grad f(\overline{x})=\textstyle\Bigl(\sum_{j=1}^{n}a_{1j}x_j,\ldots,\sum_{j=1}^{n}a_{nj}x_j\Bigr)+\Bigl(\sum_{i=1}^{n}a_{i1}x_i,\ldots,\sum_{i=1}^{n}a_{in}x_i\Bigr)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=(A+A^{\top})\,\overline{x}\,,\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(\overline{x})&=a_{ij}+a_{ji}\,,\quad i,j\in\{1,2,\ldots,n\}\,,\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
H_f(\overline{x})&=A+A^{\top}\,,\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
\dfrac{\partial^3 f}{\partial x_i\partial x_j\partial x_k}(\overline{x})&=0\,,\quad i,j,k\in\{1,2,\ldots,n\}\,, 
\end{aligned}
Το πολυώνυμο Taylor 3ου βαθμού της f στο σημείο \overline{0} είναι

\begin{aligned} 
T_{3,f,\overline{0}}(\overline{x})&=\cancelto{0}{f(\overline{0})}+\cancelto{\overline{0}}{\grad f(\overline{0})}\,(\,\overline{x}-\overline{0}\,)+\frac{1}{2}\,(\,\overline{x}-\overline{0}\,)^{\top}(A+A^{\top})\,(\,\overline{x}-\overline{0}\,)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=\frac{1}{2}\,\overline{x}^{\top}(A+A^{\top})\,\overline{x}\,. 
\end{aligned}

Re: Πολυώνυμο Taylor

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Φεβ 14, 2019 12:57 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Φεβ 13, 2019 10:52 pm
Έστω A \in \mathbb{R}^{n \times n } σταθερός πίνακας και f\left ( \bar{x} \right )= \bar{x}^\top A \bar{x}\;\;, \;\; \bar{x} \in \mathbb{R}^n .Να υπολογιστεί το πολυώνυμο Taylor βαθμού 3 της f στο 0.


Συμπαθητική ασκησούλα , αν και υπάρχουν και άλλες παρόμοιες εκεί έξω. Από σημερινή εξέταση!
Αν A=(a_{ij}),x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})^\top

τότε είναι

f(x)=\sum_{i=1}^{n}(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j})x_{i}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}x_{i}

που προφανώς είναι πολυώνυμο n μεταβλητών δευτέρου βαθμού.

Αρα τα πολυώνυμα Taylor της f βαθμού 2,3,.. σε οποιοδήποτε σημείο είναι η ίδια η f

Re: Πολυώνυμο Taylor

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Φεβ 14, 2019 1:37 pm
από grigkost
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Φεβ 14, 2019 12:57 pm
Αν A=(a_{ij}),x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})^\top

τότε είναι

f(x)=\sum_{i=1}^{n}(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j})x_{i}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}x_{i}

που προφανώς είναι πολυώνυμο n μεταβλητών δευτέρου βαθμού.

Αρα τα πολυώνυμα Taylor της f βαθμού 2,3,.. σε οποιοδήποτε σημείο είναι η ίδια η f
Το μεγαλείο της απλής σκέψης!

Παρατήρηση: Το πολυώνυμο Taylor που υπολόγισα στην παραπάνω δημοσίευση δεν διαφέρει από το f(\overline{x}) αφού

\begin{aligned} 
T_{3,f,\overline{0}}(\overline{x})&=\frac{1}{2}\,\overline{x}^{\top}(A+A^{\top})\,\overline{x}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=\frac{1}{2}\,\big(\overline{x}^{\top}A\,\overline{x}+\overline{x}^{\top}A^{\top}\,\overline{x}\big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=\frac{1}{2}\,\big(\overline{x}^{\top}A\,\overline{x}+\big(\overline{x}^{\top}A\,\overline{x}\big)^{\top}\big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=\frac{1}{2}\,\big(\overline{x}^{\top}A\,\overline{x}+\overline{x}^{\top}A\,\overline{x}\big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=f(\overline{x})\,. 
\end{aligned}