Σελίδα 1 από 1

Ακρότατα συνάρτησης

Δημοσιεύτηκε: Τετ Φεβ 13, 2019 9:19 pm
από Tolaso J Kos
Να βρείτε και να χαρακτηρίσετε τα ακρότατα της συνάρτησης:

\displaystyle{f\left ( x, y \right ) = \left\{\begin{matrix} 
yx^2 & , & x^2 + y^2 \leq 1 \\\\  
\frac{1}{\sqrt{3}} & , & x^2+y^2>1 \quad \text{\gr και} \;\; y \geq 0 \\\\  
-\frac{1}{\sqrt{3}} & , &  x^2+y^2>1 \quad \text{\gr και} \;\; y <0  
\end{matrix}\right.}
Από σημερινή εξέταση Απ. ΙΙΙ κάπου στην Ελλάδα!

Re: Ακρότατα συνάρτησης

Δημοσιεύτηκε: Παρ Φεβ 15, 2019 10:55 am
από grigkost
Έστω D=\big\{(x,y)\in{\mathbb{R}}^2\;|\; x^2+y^2\leqslant1\big\}. Η συνάρτηση f:{\mathbb{R}}^2\longrightarrow{\mathbb{R}}\,, \; f(x,y)=x^2y είναι συνεχής στο συμπαγές D. Επομένως παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο D.

Για τα ακρότατα στο εσωτερικό D^{\circ} :

(\grad f)(x,y)=(0,0)\quad \Leftrightarrow\quad \{x=0\; \wedge\; y\in\mathbb{R}\}

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι η f παρουσιάζει τοπικό (αλλά όχι ολικό) μέγιστο στα σημεία του συνόλου \big\{(0,y)\in{\mathbb{R}}^2\;|\; y^2<1\;{\text{\gr και}}\; y<0\big\} και τοπικό (αλλά όχι ολικό) ελάχιστο στα σημεία του συνόλου \big\{(0,y)\in{\mathbb{R}}^2\;|\; y^2<1\;{\text{\gr και}}\; y>0\big\}.

Για τα ακρότατα στο σύνορο \partial D :
Με την μέθοδο πολλαπλασιαστών Lagrange βρίσκουμε πιθανά σημεία ακροτάτων τα (0,\pm1), \big(\pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\big) και \big(\pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},\mp\frac{1}{\sqrt{3}}\big).
Όμως f(0,\pm1)=0, f\big(\pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\big)=\pm\frac{2}{3\sqrt{3}} και f\big(\pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},\mp\frac{1}{\sqrt{3}}\big)=\pm\frac{2}{3\sqrt{3}}.

Επομένως για κάθε (x,y)\in D ισχύει
-\dfrac{1}{\sqrt{3}}<-\dfrac{2}{3\sqrt{3}}\leqslant f(x,y)\leqslant\dfrac{2}{3\sqrt{3}}<\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,.
Άρα η μέγιστη τιμή της f είναι η \frac{1}{\sqrt{3}}, την οποία παίρνει σε κάθε σημείο του συνόλου \big\{(x,y)\in{\mathbb{R}}^2\;|\; x^2+y^2>1\;{\text{\gr και}}\; y\geqslant0\big\}, και η ελάχιστη τιμή της f είναι η -\frac{1}{\sqrt{3}}, την οποία παίρνει σε κάθε σημείο του συνόλου \big\{(x,y)\in{\mathbb{R}}^2\;|\; x^2+y^2>1\;{\text{\gr και}}\; y<0\big\}.
aplogIII_5.png
aplogIII_5.png (41.69 KiB) Προβλήθηκε 330 φορές

Παρατήρηση: Η παραπάνω επίλυση είναι συνοπτική και όχι όπως θα έπρεπε να δοθεί σε μια εξέταση.


edit: 13:04, 15/2/2019: Μετά την παρατήρηση του Σταύρου (βλέπε επόμενη δημοσίευση), τον οποίο ευχαριστώ, συμπληρώθηκε η λύση με την εύρεση και των τοπικών ακροτάτων.

Re: Ακρότατα συνάρτησης

Δημοσιεύτηκε: Παρ Φεβ 15, 2019 12:29 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Φεβ 13, 2019 9:19 pm
Να βρείτε και να χαρακτηρίσετε τα ακρότατα της συνάρτησης:

\displaystyle{f\left ( x, y \right ) = \left\{\begin{matrix} 
yx^2 & , & x^2 + y^2 \leq 1 \\\\  
\frac{1}{\sqrt{3}} & , & x^2+y^2>1 \quad \text{\gr και} \;\; y \geq 0 \\\\  
-\frac{1}{\sqrt{3}} & , &  x^2+y^2>1 \quad \text{\gr και} \;\; y <0  
\end{matrix}\right.}
Από σημερινή εξέταση Απ. ΙΙΙ κάπου στην Ελλάδα!
Μια ερώτηση. Αυτό το κάπου ποιο είναι ;

Κάποιες παρατηρήσεις.
Δεν διευκρινίζεται αν ζητούνται τα ολικά η τα τοπικά ακρότατα η όλα.
Βέβαια αν ψάξουμε τα τοπικά ακρότατα τότε υπάρχει αρκετή δουλειά.
Πολύ καλά έκανε ο Γρηγόρης και θεώρησε ολικά ακρότατα.
Πάνω στην λύση του Γρηγόρη έχω την εξής παρατήρηση .

Επειδή

\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{2}+y^{2}\geq 3\sqrt[3]{(\frac{x^{4}y^{2}}{4})}

είναι |x^{2}y|\leq \frac{2}{3\sqrt{3}}

με ισότητα αν και μόνο αν \frac{x^{2}}{2}=y^{2}

κλπ.

Ετσι μπορούμε να μην χρησιμοποιήσουμε τους πολλαπλασιαστές Lagrange.

Re: Ακρότατα συνάρτησης

Δημοσιεύτηκε: Παρ Φεβ 15, 2019 12:58 pm
από Al.Koutsouridis
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Φεβ 15, 2019 12:29 pm

Μια ερώτηση. Αυτό το κάπου ποιο είναι ;
Και εγώ την ίδια απορία έχω γιατί δεν μπορούμε να πούμε από ποιο πανεπιστήμιο και τμήμα είναι τα θέματα; Το θεωρούμε μη σημαντικό; καλύπτονται από κάποιο copyright ανωνυμίας;

Re: Ακρότατα συνάρτησης

Δημοσιεύτηκε: Παρ Φεβ 15, 2019 1:17 pm
από grigkost
Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Φεβ 13, 2019 9:19 pm
...Από σημερινή εξέταση Απ. ΙΙΙ κάπου στην Ελλάδα!
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Φεβ 15, 2019 12:29 pm
Μια ερώτηση. Αυτό το κάπου ποιο είναι ;
Δεν νομίζω ότι υπάρχει πρόβλημα δικαιωμάτων. Το θέμα είναι από την προχθεσινή εξέταση Απ. Λογισμού ΙΙΙ στο Μαθηματικό Ιωαννίνων.
Εικάζω ότι αυτό το "...κάπου στην Ελλάδα!" είναι έκφραση στιγμιαίας διάθεσης, παρά οτιδήποτε άλλο.

Re: Ακρότατα συνάρτησης

Δημοσιεύτηκε: Παρ Φεβ 15, 2019 3:26 pm
από Demetres
Για τα ολικά ακρότατα μπορούμε επίσης να πούμε ότι για x^2 + y^2 \leqslant 1 έχουμε \displaystyle  |yx^2| \leqslant |y(1-y^2)|

Όμως εύκολα από λογισμό μίας μεταβλητής η y(1-y^2) στο [-1,1] μεγιστοποιείται/ελαχιστοποιείται είτε όταν y^2 = 1/3 είτε στα άκρα. Οπότε παίρνουμε |y(1-y^2)| \leqslant \frac{2}{3\sqrt{3}} < \frac{1}{\sqrt{3}} και τα υπόλοιπα τώρα είναι απλά.