Ακρότατα συνάρτησης
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5237
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Ακρότατα συνάρτησης
Να βρείτε και να χαρακτηρίσετε τα ακρότατα της συνάρτησης:
Από σημερινή εξέταση Απ. ΙΙΙ κάπου στην Ελλάδα!
Από σημερινή εξέταση Απ. ΙΙΙ κάπου στην Ελλάδα!
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Λέξεις Κλειδιά:
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3055
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Ακρότατα συνάρτησης
Έστω . Η συνάρτηση είναι συνεχής στο συμπαγές . Επομένως παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο .
Για τα ακρότατα στο εσωτερικό :
Εύκολα διαπιστώνουμε ότι η παρουσιάζει τοπικό (αλλά όχι ολικό) μέγιστο στα σημεία του συνόλου και τοπικό (αλλά όχι ολικό) ελάχιστο στα σημεία του συνόλου .
Για τα ακρότατα στο σύνορο :
Με την μέθοδο πολλαπλασιαστών Lagrange βρίσκουμε πιθανά σημεία ακροτάτων τα , και .
Όμως , και .
Επομένως για κάθε ισχύει
Άρα η μέγιστη τιμή της είναι η , την οποία παίρνει σε κάθε σημείο του συνόλου , και η ελάχιστη τιμή της είναι η , την οποία παίρνει σε κάθε σημείο του συνόλου .
Παρατήρηση: Η παραπάνω επίλυση είναι συνοπτική και όχι όπως θα έπρεπε να δοθεί σε μια εξέταση.
edit: 13:04, 15/2/2019: Μετά την παρατήρηση του Σταύρου (βλέπε επόμενη δημοσίευση), τον οποίο ευχαριστώ, συμπληρώθηκε η λύση με την εύρεση και των τοπικών ακροτάτων.
Για τα ακρότατα στο εσωτερικό :
Εύκολα διαπιστώνουμε ότι η παρουσιάζει τοπικό (αλλά όχι ολικό) μέγιστο στα σημεία του συνόλου και τοπικό (αλλά όχι ολικό) ελάχιστο στα σημεία του συνόλου .
Για τα ακρότατα στο σύνορο :
Με την μέθοδο πολλαπλασιαστών Lagrange βρίσκουμε πιθανά σημεία ακροτάτων τα , και .
Όμως , και .
Επομένως για κάθε ισχύει
Άρα η μέγιστη τιμή της είναι η , την οποία παίρνει σε κάθε σημείο του συνόλου , και η ελάχιστη τιμή της είναι η , την οποία παίρνει σε κάθε σημείο του συνόλου .
Παρατήρηση: Η παραπάνω επίλυση είναι συνοπτική και όχι όπως θα έπρεπε να δοθεί σε μια εξέταση.
edit: 13:04, 15/2/2019: Μετά την παρατήρηση του Σταύρου (βλέπε επόμενη δημοσίευση), τον οποίο ευχαριστώ, συμπληρώθηκε η λύση με την εύρεση και των τοπικών ακροτάτων.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ακρότατα συνάρτησης
Μια ερώτηση. Αυτό το κάπου ποιο είναι ;Tolaso J Kos έγραψε: ↑Τετ Φεβ 13, 2019 9:19 pmΝα βρείτε και να χαρακτηρίσετε τα ακρότατα της συνάρτησης:
Από σημερινή εξέταση Απ. ΙΙΙ κάπου στην Ελλάδα!
Κάποιες παρατηρήσεις.
Δεν διευκρινίζεται αν ζητούνται τα ολικά η τα τοπικά ακρότατα η όλα.
Βέβαια αν ψάξουμε τα τοπικά ακρότατα τότε υπάρχει αρκετή δουλειά.
Πολύ καλά έκανε ο Γρηγόρης και θεώρησε ολικά ακρότατα.
Πάνω στην λύση του Γρηγόρη έχω την εξής παρατήρηση .
Επειδή
είναι
με ισότητα αν και μόνο αν
κλπ.
Ετσι μπορούμε να μην χρησιμοποιήσουμε τους πολλαπλασιαστές Lagrange.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1807
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ακρότατα συνάρτησης
Και εγώ την ίδια απορία έχω γιατί δεν μπορούμε να πούμε από ποιο πανεπιστήμιο και τμήμα είναι τα θέματα; Το θεωρούμε μη σημαντικό; καλύπτονται από κάποιο copyright ανωνυμίας;
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3055
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Ακρότατα συνάρτησης
Δεν νομίζω ότι υπάρχει πρόβλημα δικαιωμάτων. Το θέμα είναι από την προχθεσινή εξέταση Απ. Λογισμού ΙΙΙ στο Μαθηματικό Ιωαννίνων.
Εικάζω ότι αυτό το "...κάπου στην Ελλάδα!" είναι έκφραση στιγμιαίας διάθεσης, παρά οτιδήποτε άλλο.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ακρότατα συνάρτησης
Για τα ολικά ακρότατα μπορούμε επίσης να πούμε ότι για έχουμε
Όμως εύκολα από λογισμό μίας μεταβλητής η στο μεγιστοποιείται/ελαχιστοποιείται είτε όταν είτε στα άκρα. Οπότε παίρνουμε και τα υπόλοιπα τώρα είναι απλά.
Όμως εύκολα από λογισμό μίας μεταβλητής η στο μεγιστοποιείται/ελαχιστοποιείται είτε όταν είτε στα άκρα. Οπότε παίρνουμε και τα υπόλοιπα τώρα είναι απλά.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 11 επισκέπτες