Ακρότατα συνάρτησης

Tolaso J Kos

Να βρείτε και να χαρακτηρίσετε τα ακρότατα της συνάρτησης:

$\displaystyle{f\left ( x, y \right ) = \left\{\begin{matrix} yx^2 & , & x^2 + y^2 \leq 1 \\\\ \frac{1}{\sqrt{3}} & , & x^2+y^2>1 \quad \text{\gr και} \;\; y \geq 0 \\\\ -\frac{1}{\sqrt{3}} & , & x^2+y^2>1 \quad \text{\gr και} \;\; y <0 \end{matrix}\right.}$
Από σημερινή εξέταση Απ. ΙΙΙ κάπου στην Ελλάδα!

Έστω $D=\big\{(x,y)\in{\mathbb{R}}^2\;|\; x^2+y^2\leqslant1\big\}$ . Η συνάρτηση $f:{\mathbb{R}}^2\longrightarrow{\mathbb{R}}\,, \; f(x,y)=x^2y$ είναι συνεχής στο συμπαγές

. Επομένως παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο

.

Για τα ακρότατα στο εσωτερικό $D^{\circ}$ :

$(\grad f)(x,y)=(0,0)\quad \Leftrightarrow\quad \{x=0\; \wedge\; y\in\mathbb{R}\}$

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι η

παρουσιάζει τοπικό (αλλά όχι ολικό) μέγιστο στα σημεία του συνόλου $\big\{(0,y)\in{\mathbb{R}}^2\;|\; y^2<1\;{\text{\gr και}}\; y<0\big\}$ και τοπικό (αλλά όχι ολικό) ελάχιστο στα σημεία του συνόλου $\big\{(0,y)\in{\mathbb{R}}^2\;|\; y^2<1\;{\text{\gr και}}\; y>0\big\}$ .

Για τα ακρότατα στο σύνορο $\partial D$ :
Με την μέθοδο πολλαπλασιαστών Lagrange βρίσκουμε πιθανά σημεία ακροτάτων τα $(0,\pm1)$ , $\big(\pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\big)$ και $\big(\pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},\mp\frac{1}{\sqrt{3}}\big)$ .
Όμως $f(0,\pm1)=0$ , $f\big(\pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\big)=\pm\frac{2}{3\sqrt{3}}$ και $f\big(\pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},\mp\frac{1}{\sqrt{3}}\big)=\pm\frac{2}{3\sqrt{3}}$ .

Επομένως για κάθε $(x,y)\in D$ ισχύει
$-\dfrac{1}{\sqrt{3}}<-\dfrac{2}{3\sqrt{3}}\leqslant f(x,y)\leqslant\dfrac{2}{3\sqrt{3}}<\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,.$
Άρα η μέγιστη τιμή της

είναι η $\frac{1}{\sqrt{3}}$ , την οποία παίρνει σε κάθε σημείο του συνόλου $\big\{(x,y)\in{\mathbb{R}}^2\;|\; x^2+y^2>1\;{\text{\gr και}}\; y\geqslant0\big\}$ , και η ελάχιστη τιμή της

είναι η $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ , την οποία παίρνει σε κάθε σημείο του συνόλου $\big\{(x,y)\in{\mathbb{R}}^2\;|\; x^2+y^2>1\;{\text{\gr και}}\; y<0\big\}$ .

: aplogIII_5.png (41.69 KiB) Προβλήθηκε 321 φορές

Παρατήρηση: Η παραπάνω επίλυση είναι συνοπτική και όχι όπως θα έπρεπε να δοθεί σε μια εξέταση.

edit: 13:04, 15/2/2019: Μετά την παρατήρηση του Σταύρου (βλέπε επόμενη δημοσίευση), τον οποίο ευχαριστώ, συμπληρώθηκε η λύση με την εύρεση και των τοπικών ακροτάτων.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 13, 2019 9:19 pm
Να βρείτε και να χαρακτηρίσετε τα ακρότατα της συνάρτησης:

$\displaystyle{f\left ( x, y \right ) = \left\{\begin{matrix} yx^2 & , & x^2 + y^2 \leq 1 \\\\ \frac{1}{\sqrt{3}} & , & x^2+y^2>1 \quad \text{\gr και} \;\; y \geq 0 \\\\ -\frac{1}{\sqrt{3}} & , & x^2+y^2>1 \quad \text{\gr και} \;\; y <0 \end{matrix}\right.}$
Από σημερινή εξέταση Απ. ΙΙΙ κάπου στην Ελλάδα!

Μια ερώτηση. Αυτό το κάπου ποιο είναι ;

Κάποιες παρατηρήσεις.
Δεν διευκρινίζεται αν ζητούνται τα ολικά η τα τοπικά ακρότατα η όλα.
Βέβαια αν ψάξουμε τα τοπικά ακρότατα τότε υπάρχει αρκετή δουλειά.
Πολύ καλά έκανε ο Γρηγόρης και θεώρησε ολικά ακρότατα.
Πάνω στην λύση του Γρηγόρη έχω την εξής παρατήρηση .

Επειδή

$\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{2}+y^{2}\geq 3\sqrt[3]{(\frac{x^{4}y^{2}}{4})}$

είναι $|x^{2}y|\leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$

με ισότητα αν και μόνο αν $\frac{x^{2}}{2}=y^{2}$

κλπ.

Ετσι μπορούμε να μην χρησιμοποιήσουμε τους πολλαπλασιαστές Lagrange.

Al.Koutsouridis

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 15, 2019 12:29 pm

Μια ερώτηση. Αυτό το κάπου ποιο είναι ;

Και εγώ την ίδια απορία έχω γιατί δεν μπορούμε να πούμε από ποιο πανεπιστήμιο και τμήμα είναι τα θέματα; Το θεωρούμε μη σημαντικό; καλύπτονται από κάποιο copyright ανωνυμίας;

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 13, 2019 9:19 pm
...Από σημερινή εξέταση Απ. ΙΙΙ κάπου στην Ελλάδα!
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 15, 2019 12:29 pm
Μια ερώτηση. Αυτό το κάπου ποιο είναι ;

Δεν νομίζω ότι υπάρχει πρόβλημα δικαιωμάτων. Το θέμα είναι από την προχθεσινή εξέταση Απ. Λογισμού ΙΙΙ στο Μαθηματικό Ιωαννίνων.
Εικάζω ότι αυτό το "...κάπου στην Ελλάδα!" είναι έκφραση στιγμιαίας διάθεσης, παρά οτιδήποτε άλλο.

Για τα ολικά ακρότατα μπορούμε επίσης να πούμε ότι για $x^2 + y^2 \leqslant 1$ έχουμε $\displaystyle |yx^2| \leqslant |y(1-y^2)|$

Όμως εύκολα από λογισμό μίας μεταβλητής η

στο

μεγιστοποιείται/ελαχιστοποιείται είτε όταν y^2 = 1/3

είτε στα άκρα. Οπότε παίρνουμε $|y(1-y^2)| \leqslant \frac{2}{3\sqrt{3}} < \frac{1}{\sqrt{3}}$ και τα υπόλοιπα τώρα είναι απλά.

Ακρότατα συνάρτησης

Ακρότατα συνάρτησης

Re: Ακρότατα συνάρτησης

Re: Ακρότατα συνάρτησης

Re: Ακρότατα συνάρτησης

Re: Ακρότατα συνάρτησης

Re: Ακρότατα συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση