Όριο αθροίσματος

Tolaso J Kos · #1

Έστω ακολουθία a_n

τέτοια ώστε a_n>0

, $\limsup a_n =2$ , $\liminf a_n =1$ και $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n{a_k}}=1}$ . Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{a_k}=1}$ .

Θα την έβαζα στο νέο φάκελο "Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές" αλλά τη θεωρώ δύσκολη.

mikemoke · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 08, 2019 10:22 am
Έστω ακολουθία τέτοια ώστε , $\limsup a_n =2$ , $\liminf a_n =1$ και $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n{a_k}}=1}$ . Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{a_k}=1}$ .

Θα την έβαζα στο νέο φάκελο "Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές" αλλά τη θεωρώ δύσκολη.

$\exists x\geq 2\forall n\in \mathbb{N}:a_n\leq x$

Έστω $\epsilon >0$
Θεωρούμε την $f_\epsilon ,g_\epsilon :\mathbb{N} \mapsto \mathcal{P}(\mathbb{N})$
με $f_\epsilon (n)=\left \{ i\in \mathbb{N}:i\leq n \wedge a_n\geq 1+\epsilon \right \}$
και $g_\epsilon (n)=\left \{ i\in \mathbb{N}:i\leq n \wedge 1+\epsilon>a_n>1-\epsilon \right \}$
και $S_n=\mathbb{N}\setminus (f_\epsilon(n)\cup g_\epsilon(n))$ (πεπερασμένο για κάθε $\epsilon >0$ και φραγμένο για κάθε

και σταθερό $\epsilon$ )
τότε $\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}a_k}=\sqrt[n]{\prod_{k\in f_\epsilon(n)}a_k}\sqrt[n]{\prod_{k\in g_\epsilon(n)}a_k}\sqrt[n]{\prod_{k\in S_n}a_k}\geq (1+\epsilon )^\frac{|f_\epsilon (n)|}{n}\cdot \sqrt[n]{\prod_{k\in f_\epsilon(n)}a_k}\sqrt[n]{\prod_{k\in S_n}a_k}$
$\geq (1+\epsilon )^\frac{|g_\epsilon (n)|}{n}(1-\epsilon )^\frac{|f_\epsilon (n)|}{n}\sqrt[n]{\prod_{k\in S_n}a_k}$

$\frac{|g_\epsilon (n)|}{n}$ φραγμένη στο [0,1]

από Bolzano Weierstrass υπάρχει υπακολουθία $\frac{|g_\epsilon (x_n)|}{x_n}$
με $x_n\in \mathbb{N} ,x_n\rightarrow \infty$
τέτοια ώστε $\frac{|g_\epsilon (x_n)|}{x_n}\rightarrow a\in[0,1]$
Αφού $\frac{|f_\epsilon (n)|+|g_\epsilon (n)|}{n}\rightarrow 1$
έχουμε $\frac{|f_\epsilon (x_n)|}{x_n}\rightarrow b=1-a$
Άρα $\sqrt[x_n]{\prod_{k=1}^{n}a_{x_k}}\geq (1+\epsilon )^\frac{|g_\epsilon (x_n)|}{x_n}(1-\epsilon )^\frac{|f_\epsilon (x_n)|}{x_n}\sqrt[n]{\prod_{k\in S_n\cap x([n])}a_k} \rightarrow (1+\epsilon )^a(1-\epsilon )^b$
όπου $[n]=\left \{ 1,2,...,n \right \}$
ορίζουμε $h(x)=(1+x)^a+(1-x)^b (x\in[0,1])$
Παρατηρούμε ότι h(0)=1

και για $a,b \neq 0 :h'(0)=1$
με κατάλληλη επιλογή $\epsilon >0$
προκύπτει $\sqrt[x_n]{\prod_{k=1}^{n}a_{x_k}} \rightarrow s>1$ ΑΤΟΠΟ
Άρα a=0

και

και αυτό για τυχαία (x_n)

τέτοια ώστε
$\frac{|g_\epsilon (x_n)|}{x_n} \rightarrow a\in[0,1]$
Επομένως η $\frac{|g_\epsilon (n)|}{n}$ δεν έχει σημεία συσσώρευσης στο (0,1]

Άρα $\frac{|g_\epsilon (n)|}{n} \rightarrow 0$ και $\frac{|f_\epsilon (n)|}{n} \rightarrow 1$

$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_k=\frac{1}{n}\sum_{k\in g_\epsilon (n)}a_k+\frac{1}{n}\sum_{k\in f_\epsilon (n)}a_k+\frac{1}{n}\sum_{k\in S_n}a_k$

$\frac{|g_\epsilon (n)|}{n}x\geq \frac{1}{n}\sum_{k\in g_\epsilon (n)}a_k\geq \frac{|g_\epsilon (n)|}{n}(1+\epsilon ) \Rightarrow \frac{1}{n}\sum_{k\in g_\epsilon (n)}a_k\rightarrow 0$

$\frac{1}{n}\sum_{k\in S_n}a_k \rightarrow 0$

$\frac{|f_\epsilon (n)|}{n}(1+\epsilon )\geq \frac{1}{n}\sum_{k\in f_\epsilon (n)}a_k\geq \frac{|f_\epsilon (n)|}{n}(1-\epsilon )$
Άρα $\frac{1}{n}\sum_{k\in f_\epsilon (n)}a_k \rightarrow 1$
To ζητούμενο έπεται .

mikemoke · #3

Για περισσότερα βλέπε και εδώ
https://artofproblemsolving.com/communi ... and_limsup

Όριο αθροίσματος

Όριο αθροίσματος

Re: Όριο αθροίσματος

Re: Όριο αθροίσματος

Μέλη σε σύνδεση