Όριο αθροίσματος

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3834
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Όριο αθροίσματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Φεβ 08, 2019 10:22 am

Έστω ακολουθία a_n τέτοια ώστε a_n>0 , \limsup a_n =2 , \liminf a_n =1 και \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n{a_k}}=1}. Να δειχθεί ότι \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{a_k}=1}.


Θα την έβαζα στο νέο φάκελο "Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές" αλλά τη θεωρώ δύσκολη.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 213
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Όριο αθροίσματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Παρ Φεβ 08, 2019 4:14 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Φεβ 08, 2019 10:22 am
Έστω ακολουθία a_n τέτοια ώστε a_n>0 , \limsup a_n =2 , \liminf a_n =1 και \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n{a_k}}=1}. Να δειχθεί ότι \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{a_k}=1}.


Θα την έβαζα στο νέο φάκελο "Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές" αλλά τη θεωρώ δύσκολη.
\exists x\geq 2\forall n\in \mathbb{N}:a_n\leq x

Έστω \epsilon >0
Θεωρούμε την f_\epsilon ,g_\epsilon :\mathbb{N} \mapsto \mathcal{P}(\mathbb{N})
με f_\epsilon (n)=\left \{ i\in \mathbb{N}:i\leq n \wedge a_n\geq 1+\epsilon \right \}
και g_\epsilon (n)=\left \{ i\in \mathbb{N}:i\leq n \wedge  1+\epsilon>a_n>1-\epsilon \right \}
και S_n=\mathbb{N}\setminus (f_\epsilon(n)\cup g_\epsilon(n))(πεπερασμένο για κάθε \epsilon >0 και φραγμένο για κάθε n και σταθερό \epsilon)
τότε \sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}a_k}=\sqrt[n]{\prod_{k\in f_\epsilon(n)}a_k}\sqrt[n]{\prod_{k\in g_\epsilon(n)}a_k}\sqrt[n]{\prod_{k\in S_n}a_k}\geq (1+\epsilon )^\frac{|f_\epsilon (n)|}{n}\cdot \sqrt[n]{\prod_{k\in f_\epsilon(n)}a_k}\sqrt[n]{\prod_{k\in S_n}a_k}
\geq (1+\epsilon )^\frac{|g_\epsilon (n)|}{n}(1-\epsilon )^\frac{|f_\epsilon (n)|}{n}\sqrt[n]{\prod_{k\in S_n}a_k}

\frac{|g_\epsilon (n)|}{n} φραγμένη στο [0,1] από Bolzano Weierstrass υπάρχει υπακολουθία \frac{|g_\epsilon (x_n)|}{x_n}
με x_n\in \mathbb{N} ,x_n\rightarrow \infty
τέτοια ώστε \frac{|g_\epsilon (x_n)|}{x_n}\rightarrow a\in[0,1]
Αφού \frac{|f_\epsilon (n)|+|g_\epsilon (n)|}{n}\rightarrow 1
έχουμε \frac{|f_\epsilon (x_n)|}{x_n}\rightarrow b=1-a
Άρα \sqrt[x_n]{\prod_{k=1}^{n}a_{x_k}}\geq (1+\epsilon )^\frac{|g_\epsilon (x_n)|}{x_n}(1-\epsilon )^\frac{|f_\epsilon (x_n)|}{x_n}\sqrt[n]{\prod_{k\in S_n\cap x([n])}a_k} \rightarrow (1+\epsilon )^a(1-\epsilon )^b
όπου [n]=\left \{ 1,2,...,n \right \}
ορίζουμε h(x)=(1+x)^a+(1-x)^b (x\in[0,1])
Παρατηρούμε ότι h(0)=1 και για a,b \neq 0 :h'(0)=1
με κατάλληλη επιλογή \epsilon >0
προκύπτει \sqrt[x_n]{\prod_{k=1}^{n}a_{x_k}} \rightarrow s>1 ΑΤΟΠΟ
Άρα a=0 και b=1
και αυτό για τυχαία (x_n) τέτοια ώστε
\frac{|g_\epsilon (x_n)|}{x_n} \rightarrow a\in[0,1]
Επομένως η \frac{|g_\epsilon (n)|}{n} δεν έχει σημεία συσσώρευσης στο (0,1]
Άρα \frac{|g_\epsilon (n)|}{n} \rightarrow 0 και \frac{|f_\epsilon (n)|}{n} \rightarrow 1

\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_k=\frac{1}{n}\sum_{k\in g_\epsilon (n)}a_k+\frac{1}{n}\sum_{k\in f_\epsilon (n)}a_k+\frac{1}{n}\sum_{k\in S_n}a_k

\frac{|g_\epsilon (n)|}{n}x\geq \frac{1}{n}\sum_{k\in g_\epsilon (n)}a_k\geq \frac{|g_\epsilon (n)|}{n}(1+\epsilon ) \Rightarrow \frac{1}{n}\sum_{k\in g_\epsilon (n)}a_k\rightarrow 0

\frac{1}{n}\sum_{k\in S_n}a_k \rightarrow 0

\frac{|f_\epsilon (n)|}{n}(1+\epsilon )\geq \frac{1}{n}\sum_{k\in f_\epsilon (n)}a_k\geq \frac{|f_\epsilon (n)|}{n}(1-\epsilon )
Άρα \frac{1}{n}\sum_{k\in f_\epsilon (n)}a_k \rightarrow 1
To ζητούμενο έπεται .


mikemoke
Δημοσιεύσεις: 213
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Όριο αθροίσματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Κυρ Φεβ 10, 2019 12:45 am

Για περισσότερα βλέπε και εδώ
https://artofproblemsolving.com/communi ... and_limsup


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες