3 θέματα εξέτασης Απ. Λογ. Ι

#1

Ασχολίαστα -προς το παρόν- 3 θέματα πρόσφατης εξέτασης Απειροστικού Λογισμού Ι:

Αν $\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$ και η είναι παραγωγίσιμη στο $[10,+\infty)$ , εξετάστε την ύπαρξη του $\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}f'(x)$ .
Αν η είναι παραγωγίσιμη στο $[10,+\infty)$ με και $\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$ , εξετάστε αν υπάρχει $\xi_2\in(10,+\infty)$ με $f'(\xi_2)=0$ .
Αν η είναι παραγωγίσιμη στο $[10,+\infty)$ με και $\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$ , εξετάστε αν υπάρχει $\xi_3\in(10,+\infty)$ με $f''(\xi_3)=0$ .

Tolaso J Kos · #2

#3

H $f(x) = -e^{-x}$ είναι παράδειγμα για τα (2) και (3) όπου δεν υπάρχει $\xi$ με $f'(\xi)=0$ ή $f''(\xi)=0$ . Η $f(x) = \frac{\sin(x^2)}{\sqrt{x}}$ είναι παράδειγμα για το (1) όπου το όριο της παραγώγου δεν υπάρχει.

#4

Τα δεδομένα δεν εξασφαλίζουν το ίδιο συμπέρασμα για οποιαδήποτε συνάρτηση που τα πληροί. Π.χ. οι συναρτήσεις $f(x)=0\,,\;x\in[10,+\infty)$ και $g(x)=\frac{\sin(x^2)}{x}\,,\;x\in[10,+\infty)$ , είναι παραγωγίσιμες στο $[10,+\infty)$ και έχουν $\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}f(x)=\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}g(x)=0$ , αλλά $\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}f'(x)=0$ , ενώ το $\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}g'(x)$ δεν υπάρχει.
Τα δεδομένα δεν εξασφαλίζουν το ίδιο συμπέρασμα για οποιαδήποτε συνάρτηση που τα πληροί. Π.χ. οι συναρτήσεις $f(x)=-\frac{1}{x}\,,\;x\in[10,+\infty)$ και $g(x)=\big(\frac{x}{10}\big)^{\frac{1}{x}}-1\,,\;x\in[10,+\infty)$ , είναι παραγωγίσιμες στο $[10,+\infty)$ με $f'(10)>0,\,g'(10)>0$ και έχουν $\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}f(x)=\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}g(x)=0$ , αλλά, για κάθε $x\in[10,+\infty)$ ισχύει $f'(x)=\frac{1}{x^2}>0$ , ενώ $g'(10\,{\rm{e}})=0$ .
Τα δεδομένα δεν εξασφαλίζουν το ίδιο συμπέρασμα για οποιαδήποτε συνάρτηση που τα πληροί. Π.χ. οι συναρτήσεις $f(x)=-\frac{1}{x}\,,\;x\in[10,+\infty)$ και $g(x)=-\frac{1}{x}\,{\rm{e}}^{\sin{x}}\,,\;x\in[10,+\infty)$ , είναι παραγωγίσιμες στο $[10,+\infty)$ με $f'(10)>0,\,g'(10)>0$ και έχουν $\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}f(x)=\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}g(x)=0$ , αλλά, για κάθε $x\in[10,+\infty)$ ισχύει $f''(x)=-\frac{2}{x^3}<0$ , ενώ υπάρχουν(*) άπειρες λύσεις της εξίσωσης .

(*) Αν και η απόδειξη της ύπαρξής τους έχει κάποια τεχνική δυσκολία στην συγκεκριμένη περίπτωση.

Σχόλιο: Βρίσκω ότι είναι, τουλάχιστον, άστοχο σαν θέμα εξέτασης μια (θεωρητική) πρόταση που δεν είναι ούτε αληθής, ούτε ψευδής.
Και στην συγκεκριμένη εξέταση υπήρξαν τρεις τέτοιες!

margk · #5

Τρία ερωτήματα
α) ξέρουμε σε ποια σχολή έπεσαν τα θέματα;
β) Πόσες μονάδες από τις 10 αντιστοιχούν σε αυτά;
γ) πόσο εύκολο είναι για πρωτοετή φοιτητή να κατασκευάσει αυτές τις συναρτήσεις κατά την διάρκεια της εξέτασης;

#6

margk έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 05, 2019 11:43 pm
Τρία ερωτήματα
α) ξέρουμε σε ποια σχολή έπεσαν τα θέματα;
β) Πόσες μονάδες από τις 10 αντιστοιχούν σε αυτά;
γ) πόσο εύκολο είναι για πρωτοετή φοιτητή να κατασκευάσει αυτές τις συναρτήσεις κατά την διάρκεια της εξέτασης;

Τα τρία θέματα αντιστοιχούσαν σε 1+1+1=3 μονάδες. Χαρακτήρισα, τουλάχιστον, άστοχα τα τρία αυτά θέματα γιατί πριν την αναζήτηση των συγκεκριμένων συναρτήσεων που απαιτούνταν (και που δεν ήταν εύκολο να βρεθούν), θα έπρεπε να διερευνηθεί η αλήθεια ή το ψεύδος κάθε θέματος για τυχούσα συνάρτηση, όπως θα ανέμενε κάποιος να συμβαίνει διαβάζοντας την εκφώνηση. Η εκφώνηση και στα τρία θέματα δεν ήταν "Να εξετασθεί αν υπάρχει συνάρτηση τέτοια ώστε..." αλλά "Δίνεται συνάρτηση τέτοια ώστε..."
Όσον αφορά την πρώτη ερώτηση: Πρόθεσή μου με την ανάρτηση των συγκεκριμένων θεμάτων δεν ήταν να στοχοποιήσω, αλλά να σημειώσω "κακώς κείμενα".

margk · #7

Είναι πολύ καλό να σημειώνουμε τα κακώς κείμενα αλλά από αυτά πολλές φορές εξαρτώνται σημαντικά θέματα όπως για παράδειγμα αν ο φοιτητής
περάσει το μάθημα ή θα υποστεί την ταλαιπωρία (ψυχολογική και οικονομική) της επανεξέτασης τον Σεπτέμβριο.Οι 3/10 μονάδες είναι πολλές και ικανές να στερήσουν την επιτυχή εξέταση από τον φοιτητή.
Πρέπει λοιπόν οι θεματοδότες να είναι πιο προσεκτικοί και να αποφεύγουν άστοχα θέματα που για αυτούς μπορεί να μην έχουν κόστος αλλά
μπορεί να έχουν για πολλούς άλλους.

#8

margk έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 06, 2019 9:54 am
Είναι πολύ καλό να σημειώνουμε τα κακώς κείμενα αλλά από αυτά πολλές φορές εξαρτώνται σημαντικά θέματα όπως...

Για τους λόγους που αναφέρεις -αλλά και για άλλους λόγους- σημειώνουμε τα "κακώς κείμενα"...

3 θέματα εξέτασης Απ. Λογ. Ι

3 θέματα εξέτασης Απ. Λογ. Ι

Re: 3 θέματα εξέτασης Απ. Λογ. Ι

Re: 3 θέματα εξέτασης Απ. Λογ. Ι

Re: 3 θέματα εξέτασης Απ. Λογ. Ι

Re: 3 θέματα εξέτασης Απ. Λογ. Ι

Re: 3 θέματα εξέτασης Απ. Λογ. Ι

Re: 3 θέματα εξέτασης Απ. Λογ. Ι

Re: 3 θέματα εξέτασης Απ. Λογ. Ι

Μέλη σε σύνδεση