Dirichlet για γενικευμένα.

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2190
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Dirichlet για γενικευμένα.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Ιαν 26, 2019 7:39 pm

Εστω

f,g:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}

με τις ιδιότητες

Η f είναι φθίνουσα και \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=0

Υπάρχει M>0 ώστε για κάθε x>0 είναι \displaystyle|\int_{0}^{x}g(t)dt|\leq M

Να δειχθεί ότι το ολοκλήρωμα

\displaystyle\int_{0}^{\infty }f(t)g(t)dt

συγκλίνει



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 311
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Dirichlet για γενικευμένα.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Ιαν 28, 2019 2:43 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Ιαν 26, 2019 7:39 pm
Εστω

f,g:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}

με τις ιδιότητες

Η f είναι φθίνουσα και \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=0

Υπάρχει M>0 ώστε για κάθε x>0 είναι \displaystyle|\int_{0}^{x}g(t)dt|\leq M

Να δειχθεί ότι το ολοκλήρωμα

\displaystyle\int_{0}^{\infty }f(t)g(t)dt

συγκλίνει
Είναι σχεδόν άμεσο από το 2ο ΘΜΤΟΛ και το κριτήριο Cauchy. Απόδειξη το βράδυ.

Προσθήκη λύσης

Από την \displaystyle|\int_{0}^{x}g(t)dt|\leq M αν πάρουμε y>x\geq 0 έχουμε


\displaystyle \left |\int_{x}^{y}g(t)dt \right |= \left |\int_{0}^{y}g(t)dt - \int_{0}^{x}g(t)dt\right |\leq \left |\int_{0}^{y}g(t)dt \right |+\left |\int_{0}^{x}g(t)dt \right |\leq 2M


Επειδή \displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=0 για τυχόν \varepsilon>0 θα ισχύει τελικά \displaystyle\left | f(x) \right |<\frac{\varepsilon }{4M+1}


Επομένως, τελικά και από το 2ο ΘΜΤΟΛ παίρνουμε


\displaystyle \left |\int_{x}^{y }f(t)g(t)dt \right |= \left |f(x)\int_{x}^{x_0 }g(t)dt +f(y)\int_{x_0 }^{y }g(t)dt \right |


\displaystyle\leq \left | f(x) \right |\left |\int_{x}^{x_0 }g(t)dt \right |+ \left | f(y) \right |\left |\int_{x_0}^{y }g(t)dt \right |<\frac{\varepsilon }{4M+1}\cdot 2M+\frac{\varepsilon }{4M+1}\cdot 2M<\varepsilon

Από το κριτήριο Cauchy παίρνουμε τώρα το ζητούμενο.
τελευταία επεξεργασία από Λάμπρος Κατσάπας σε Δευ Ιαν 28, 2019 9:07 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


mikemoke
Δημοσιεύσεις: 209
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Dirichlet για γενικευμένα.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Δευ Ιαν 28, 2019 3:19 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Ιαν 26, 2019 7:39 pm
Εστω

f,g:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}

με τις ιδιότητες

Η f είναι φθίνουσα και \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=0

Υπάρχει M>0 ώστε για κάθε x>0 είναι \displaystyle|\int_{0}^{x}g(t)dt|\leq M

Να δειχθεί ότι το ολοκλήρωμα

\displaystyle\int_{0}^{\infty }f(t)g(t)dt

συγκλίνει
Έστω x\geq 1 και k=\left \lfloor x \right \rfloor
\forall i\in \left \{ 1,...,k \right \} d_i :=[i-1,i)
g ολοκληρώσιμη ,άρα φραγμένη σε κάθε d_1.
Άρα \forall i\in \left \{ 1,...,k \right \}\exists c_i>0\forall x\in d_i:|g(x)|\leq c_i
\forall i\in \left \{ 1,...,k \right \} \epsilon _i:=\frac{1}{c_i}
και \forall i\in \left \{ 1,...,k \right \}
επιλέγουμε n_i \in \mathbb{N} τέτοιο ώστε \frac{1}{n_i}\leq \epsilon _i και n_0=0

\forall j\in \left \{ 1,...k \right \}\forall i\in \left \{ 1,...,n_j \right \} \Delta _{i+\sum_{s=0}^{j-1}n_s}:=[i-1+\sum_{s=0}^{j-1}n_s,i+\sum_{s=0}^{j-1}n_s)
\sigma := \sum_{s=1}^{k} n_s
\forall i\in \left \{ 1,...,\sigma \right \} θέτουμε
\Delta _{i_{+}}=\left \{ x\in \Delta _i: g(x)\geq 0 \right \} και \Delta _{i_{-}}=\left \{ x\in \Delta _i:g(x)< 0 \right \}

Τότε έχουμε
\int_{0}^{x}f(t)g(t)dt=\int_{k}^{x}f(t)g(t)dt+\sum_{i=1}^{\sigma }(\int_{\Delta_{i_{+}}}f(t)g(t)dt +\int_{\Delta_{i_{-}}}f(t)g(t)dt)

Αφού f φθίνουσα έχουμε ότι
A=\sum_{i=1}^{\sigma }(\int_{\Delta_{i_{+}}}f(t)g(t)dt +\int_{\Delta_{i_{-}}}f(t)g(t)dt)=\sum_{i=1}^{\sigma }(f_{M_{i_{+}}}I_{i_{+}}-f_{M_{i_{-}}}I_{i_{-}})

όπου f_{M_{i_{+}}},f_{M_{i_{-}}}\in [inff(\Delta _i),supf(\Delta_i)]
και I_{i_{+}}=\int_{\Delta_{i_{+}}}f(t)g(t)dt και  I_{i_{-}}=\int_{\Delta_{i_{-}}}f(t)g(t)dt
και από την κατασκευή προκύπτει 0\leq I_{i_{+}}\leq 1

Ακόμα I_{i_{+}}+I_{i_{-}}:=c_i
και από το Υπάρχει M>0 ώστε για κάθε x>0 είναι \displaystyle|\int_{0}^{x}g(t)dt|\leq M έχουμε
|\sum_{i=1}^{\sigma }c_i|\leq M

Tότε A=\sum_{i=1}^{\sigma }(f_{M_{i_{+}}}I_{i_{+}}-f_{M_{i_{-}}}(c_i-I_{i_{+}}))=\sum_{i=1}^{\sigma }(f_{M_{i_{+}}}-f_{M_{i_{-}}})I_{i_{+}}+\sum_{i=1}^{\sigma }f_{M_{i_{-}}}c_i

και οι δύο σειρές συγλίνουν ,άρα μένει να δείξουμε ότι \int_{k}^{x}f(t)g(t)dt συγκλίνει .
Αυτό ισχύει επειδή
1) \lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=0
2) 0\leq k-x<1
3) |\int_{k}^{x}g(t)dt| = |\int_{0}^{x}f(t)g(t)dt- \int_{0}^{k}f(t)g(t)dt|\leq 2M


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες