Dirichlet για γενικευμένα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω

$f,g:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$

με τις ιδιότητες

Η

είναι φθίνουσα και $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=0$

Υπάρχει M>0

ώστε για κάθε x>0

είναι $\displaystyle|\int_{0}^{x}g(t)dt|\leq M$

Να δειχθεί ότι το ολοκλήρωμα

$\displaystyle\int_{0}^{\infty }f(t)g(t)dt$

συγκλίνει

Λάμπρος Κατσάπας · #2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 26, 2019 7:39 pm
Εστω

$f,g:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$

με τις ιδιότητες

Η είναι φθίνουσα και $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=0$

Υπάρχει ώστε για κάθε είναι $\displaystyle|\int_{0}^{x}g(t)dt|\leq M$

Να δειχθεί ότι το ολοκλήρωμα

$\displaystyle\int_{0}^{\infty }f(t)g(t)dt$

συγκλίνει

Είναι σχεδόν άμεσο από το 2ο ΘΜΤΟΛ και το κριτήριο Cauchy. Απόδειξη το βράδυ.

Προσθήκη λύσης

Από την $\displaystyle|\int_{0}^{x}g(t)dt|\leq M$ αν πάρουμε $y>x\geq 0$ έχουμε

$\displaystyle \left |\int_{x}^{y}g(t)dt \right |= \left |\int_{0}^{y}g(t)dt - \int_{0}^{x}g(t)dt\right |\leq \left |\int_{0}^{y}g(t)dt \right |+\left |\int_{0}^{x}g(t)dt \right |\leq 2M$

Επειδή $\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=0$ για τυχόν $\varepsilon>0$ θα ισχύει τελικά $\displaystyle\left | f(x) \right |<\frac{\varepsilon }{4M+1}$

Επομένως, τελικά και από το 2ο ΘΜΤΟΛ παίρνουμε

$\displaystyle \left |\int_{x}^{y }f(t)g(t)dt \right |= \left |f(x)\int_{x}^{x_0 }g(t)dt +f(y)\int_{x_0 }^{y }g(t)dt \right |$

$\displaystyle\leq \left | f(x) \right |\left |\int_{x}^{x_0 }g(t)dt \right |+ \left | f(y) \right |\left |\int_{x_0}^{y }g(t)dt \right |<\frac{\varepsilon }{4M+1}\cdot 2M+\frac{\varepsilon }{4M+1}\cdot 2M<\varepsilon$

Από το κριτήριο Cauchy παίρνουμε τώρα το ζητούμενο.

mikemoke · #3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 26, 2019 7:39 pm
Εστω

$f,g:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$

με τις ιδιότητες

Η είναι φθίνουσα και $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=0$

Υπάρχει ώστε για κάθε είναι $\displaystyle|\int_{0}^{x}g(t)dt|\leq M$

Να δειχθεί ότι το ολοκλήρωμα

$\displaystyle\int_{0}^{\infty }f(t)g(t)dt$

συγκλίνει

Έστω $x\geq 1$ και $k=\left \lfloor x \right \rfloor$
$\forall i\in \left \{ 1,...,k \right \} d_i :=[i-1,i)$

ολοκληρώσιμη ,άρα φραγμένη σε κάθε d_1

.
Άρα $\forall i\in \left \{ 1,...,k \right \}\exists c_i>0\forall x\in d_i:|g(x)|\leq c_i$
$\forall i\in \left \{ 1,...,k \right \} \epsilon _i:=\frac{1}{c_i}$
και $\forall i\in \left \{ 1,...,k \right \}$
επιλέγουμε $n_i \in \mathbb{N}$ τέτοιο ώστε $\frac{1}{n_i}\leq \epsilon _i$ και n_0=0

$\forall j\in \left \{ 1,...k \right \}\forall i\in \left \{ 1,...,n_j \right \} \Delta _{i+\sum_{s=0}^{j-1}n_s}:=[i-1+\sum_{s=0}^{j-1}n_s,i+\sum_{s=0}^{j-1}n_s)$
$\sigma := \sum_{s=1}^{k} n_s$
$\forall i\in \left \{ 1,...,\sigma \right \}$ θέτουμε
$\Delta _{i_{+}}=\left \{ x\in \Delta _i: g(x)\geq 0 \right \}$ και $\Delta _{i_{-}}=\left \{ x\in \Delta _i:g(x)< 0 \right \}$

Τότε έχουμε
$\int_{0}^{x}f(t)g(t)dt=\int_{k}^{x}f(t)g(t)dt+\sum_{i=1}^{\sigma }(\int_{\Delta_{i_{+}}}f(t)g(t)dt +\int_{\Delta_{i_{-}}}f(t)g(t)dt)$

Αφού

φθίνουσα έχουμε ότι
$A=\sum_{i=1}^{\sigma }(\int_{\Delta_{i_{+}}}f(t)g(t)dt +\int_{\Delta_{i_{-}}}f(t)g(t)dt)=\sum_{i=1}^{\sigma }(f_{M_{i_{+}}}I_{i_{+}}-f_{M_{i_{-}}}I_{i_{-}})$

όπου $f_{M_{i_{+}}},f_{M_{i_{-}}}\in [inff(\Delta _i),supf(\Delta_i)]$
και $I_{i_{+}}=\int_{\Delta_{i_{+}}}f(t)g(t)dt$ και $I_{i_{-}}=\int_{\Delta_{i_{-}}}f(t)g(t)dt$
και από την κατασκευή προκύπτει $0\leq I_{i_{+}}\leq 1$

Ακόμα $I_{i_{+}}+I_{i_{-}}:=c_i$
και από το Υπάρχει M>0

ώστε για κάθε x>0

είναι $\displaystyle|\int_{0}^{x}g(t)dt|\leq M$ έχουμε
$|\sum_{i=1}^{\sigma }c_i|\leq M$

Tότε $A=\sum_{i=1}^{\sigma }(f_{M_{i_{+}}}I_{i_{+}}-f_{M_{i_{-}}}(c_i-I_{i_{+}}))=\sum_{i=1}^{\sigma }(f_{M_{i_{+}}}-f_{M_{i_{-}}})I_{i_{+}}+\sum_{i=1}^{\sigma }f_{M_{i_{-}}}c_i$

και οι δύο σειρές συγλίνουν ,άρα μένει να δείξουμε ότι $\int_{k}^{x}f(t)g(t)dt$ συγκλίνει .
Αυτό ισχύει επειδή
1) $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=0$
2) $0\leq k-x<1$
3) $|\int_{k}^{x}g(t)dt| = |\int_{0}^{x}f(t)g(t)dt- \int_{0}^{k}f(t)g(t)dt|\leq 2M$

Dirichlet για γενικευμένα.

Dirichlet για γενικευμένα.

Re: Dirichlet για γενικευμένα.

Re: Dirichlet για γενικευμένα.

Μέλη σε σύνδεση