Άθροισμα σειράς

Chatzibill · #1

Να βρεθεί το άθροισμα της σειράς $\displaystyle 1+\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a(a+1)\cdots (a+n)}{(b+1)(b+2)\cdots(b+n+1)}$ με $a,b\in \mathbb{R}, 0<a<b$

Tolaso J Kos · #2

Chatzibill έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 20, 2019 7:21 pm
Να βρεθεί το άθροισμα της σειράς $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a(a+1)\cdots (a+n)}{(b+1)(b+2)\cdots(b+n+1)}$ με $a,b\in \mathbb{R}, 0<a<b$

Μισώ πάρα πολύ αυτές τις σειρές , όχι γιατί είναι δύσκολες αλλά για άλλους λόγους.

Θεωρούμε γνωστές τις συναρτήσεις $\mathrm{B}, \Gamma$ . Πληροφορίες υπάρχουν εδώ.

Λήμμα 1: Είναι γνωστό ( ορισμός - θεώρημα ) $\displaystyle{\mathrm{B}(x, y) = \int_{0}^{1} t^{x-1} \left ( 1-t \right )^{y-1}\, \mathrm{d}t = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}}$ .

Λήμμα 2: Ισχύει ότι: $\displaystyle{\frac{\Gamma\left ( \alpha+n+1 \right )}{\Gamma\left ( \beta+n+2 \right )}= \frac{1}{\Gamma\left ( \beta-\alpha+1 \right )} \cdot \mathrm{B} \left ( n+\alpha+1, \beta-\alpha+1 \right )}$ .

Απόδειξη: Πράξεις, χρησιμοποιώντας τη δεύτερη ισότητα του λήμματος (1)

.

Λήμμα 3: Από τη λήμμα (2)

έπεται η ισότητα $\displaystyle{\mathrm{B} \left ( n+\alpha+1, \beta-\alpha+1 \right ) = \int_{0}^{1} t^{n+\alpha} \left ( 1-t \right )^{\beta-\alpha} \, \mathrm{d}t}$ και κατά συνέπεια:

$\displaystyle{\frac{\Gamma\left ( \alpha+n+1 \right )}{\Gamma\left ( \beta+n+2 \right )} =\frac{1}{\Gamma(\beta-\alpha+1)} \cdot \int_{0}^{1} t^{n+\alpha} \left ( 1-t \right )^{\beta-\alpha} \, \mathrm{d}t}$
Στο θέμα μας:

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha \left ( \alpha+1 \right ) \cdots \left ( \alpha+n \right )}{\left ( \beta+1 \right )\left ( \beta+2 \right )\cdots \left ( \beta+n \right )} &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha \left ( \alpha+1 \right )_n}{\left ( \beta+1 \right )_n} \\ &=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\frac{\Gamma\left ( \alpha+n+1 \right )}{\Gamma\left ( \alpha \right )}}{\frac{\Gamma\left ( \beta+n+2 \right )}{\Gamma\left ( \beta \right )}} \\ &= \frac{\Gamma\left ( \beta \right )}{\Gamma\left ( \alpha \right )} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\Gamma\left ( \alpha+n+1 \right )}{\Gamma\left ( \beta+n+2 \right )}\\ &= \frac{\Gamma\left ( \beta \right )}{\Gamma\left ( \alpha \right ) \cdot \Gamma \left(\beta-\alpha+1 \right)} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{B} \left ( n+\alpha+1, \beta-\alpha+1 \right )\\ &= \frac{\Gamma\left ( \beta \right )}{\Gamma\left (\alpha \right ) \cdot \Gamma \left(\beta-\alpha+1 \right)} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{1} t^{n+\alpha} \left ( 1-t \right )^{\beta-\alpha} \, \mathrm{d}t \\ &= \frac{\Gamma\left ( \beta \right )}{\Gamma\left (\alpha \right ) \cdot \Gamma \left(\beta-\alpha+1 \right)}\int_{0}^{1} t^\alpha \left ( 1-t \right )^{\beta-\alpha} \sum_{n=0}^{\infty} t^n \, \mathrm{d}t \\ &=\frac{\Gamma\left ( \beta \right )}{\Gamma\left ( \alpha \right ) \cdot \Gamma \left(\beta-\alpha+1 \right)} \int_{0}^{1} t^\alpha \left ( 1-t \right )^{\beta-\alpha} \cdot \frac{\mathrm{d}t}{1-t} \\ &= \frac{\Gamma\left ( \beta \right )}{\Gamma\left ( \alpha \right ) \cdot \Gamma \left(\beta-\alpha+1 \right)} \cdot \int_{0}^{1} t^\alpha \left ( 1-t \right )^{\beta-\alpha-1} \, \mathrm{d}t \\ &= \frac{\Gamma\left ( \beta \right )}{\Gamma\left (\alpha \right ) \cdot \Gamma \left(\beta-\alpha+1 \right)} \cdot \mathrm{B} \left ( \alpha+1, \beta-\alpha \right ) \\ &=\frac{\Gamma\left ( \beta \right )}{\Gamma\left (\alpha \right ) \cdot \Gamma \left(\beta-\alpha+1 \right)} \cdot \frac{\Gamma\left ( \alpha+1 \right ) \Gamma\left ( \beta-\alpha \right )}{\Gamma\left ( \beta+1 \right )} \\ &= \frac{\Gamma\left ( \beta \right )}{\Gamma\left ( \alpha \right ) \cdot \left( \beta -\alpha \right) \cdot \Gamma \left(\beta-\alpha \right)} \cdot \frac{\alpha \Gamma \left (\alpha \right ) \Gamma\left ( \beta - \alpha \right )}{\beta \Gamma \left ( \beta \right )} \\ &= \frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{1}{\beta-\alpha} \end{aligned}}$
το οποίο έχει ελεγχθεί με το W|A.

Ας επισημανθεί πως για τη συνάρτηση $\Gamma$ ισχύει $\Gamma(x+1)= x \Gamma(x)$ και είναι η ιδιότητα που έχει χρησιμοποιηθεί στη προτελευταία γραμμή. Το

στο αρχικό post δε βλέπω πού παίζει ρόλο.

Σημείωση: Η ίδια μεθοδολογία δίδει το γενικότερο:

$\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\Gamma{(\alpha+n)}\Gamma{(\beta+n)}}{n!\Gamma{(\gamma+n)}}=\frac{\Gamma{(\alpha)}\Gamma{(\beta)}\Gamma{(\gamma-\alpha-\beta)}}{\Gamma{(\gamma-\alpha)}\Gamma{(\gamma-\beta)}} }$

#3

Chatzibill έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 20, 2019 7:21 pm
Να βρεθεί το άθροισμα της σειράς $\displaystyle 1+\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a(a+1)\cdots (a+n)}{(b+1)(b+2)\cdots(b+n+1)}$ με $a,b\in \mathbb{R}, 0<a<b$

Πιο απλά (αλλά και η απάντηση που δίνω είναι λίγο αλλιώτικη από του Τόλη):

Έστω $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ ο γενικός όρος του αθροίσματος (εννοώ μέσα στο $\Sigma$ και όχι τον πρώτο όρο

απ' έξω) κι έστω $(s_n) _{n=0}^{\infty}$ η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της ίδιας σειράς. Από την υπόθεση b>a>0

έπεται ότι η (x_n)

είναι φθίνουσα ακολουθία και άρα, από γνωστό και απλό αποτέλεσμα, $\lim (nx_n)=0$ .

Έχουμε $\displaystyle{(b+n+1)x_n= (a+n)x_{n-1}}$ για $\displaystyle{ n \ge 1}$ άρα $\displaystyle{ (b-a) x_n = (a+n)x_{n-1}- (a+n+1)x_{n}}$ . Προσθέτοντας κατά μέλη για $1 \le n\le N$ είναι

$\displaystyle{(b-a) (s_N- x_0) = (a+1)x_0- (a+N+1)x_{N}}$ και άρα στο όριο $\displaystyle{(b-a) (S- x_0) = (a+1)x_0- 0}$ , δηλαδή

$\displaystyle{S = \frac {a}{b-a}}$ . Έπεται ότι το αρχικό άθροισμα είναι $\displaystyle{1+S= \frac {b}{b-a}}$

Tolaso J Kos · #4

Λογικό είναι να υπάρχει απόκλιση στο αποτέλεσμα , αφού έχω υπολογίσει άλλη σειρά. Πιο συγκεκριμένα υπολόγισα αυτή:

$\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha \left ( \alpha+1 \right )_n}{\left ( \beta+1 \right )_n} \neq \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha \left ( \alpha+1 \right )_n}{\left ( \beta+1 \right )_{n+1}}}$
Η τελευταία σειρά είναι αυτή που ζητείται. Με λίγα λόγια έφαγα έναν όρο από το παρανομαστή. Δε πειράζει, έδειξα μια γενική μεθοδολογία για το πώς αντιμετωπίζονται οι σειρές αυτές.

#5

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 26, 2019 9:12 am
Λογικό είναι να υπάρχει απόκλιση στο αποτέλεσμα , αφού έχω υπολογίσει άλλη σειρά. Πιο συγκεκριμένα υπολόγισα αυτή:

$\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha \left ( \alpha+1 \right )_n}{\left ( \beta+1 \right )_n} \neq \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha \left ( \alpha+1 \right )_n}{\left ( \beta+1 \right )_{n+1}}}$
Η τελευταία σειρά είναι αυτή που ζητείται. Με λίγα λόγια έφαγα έναν όρο από το παρανομαστή. Δε πειράζει, έδειξα μια γενική μεθοδολογία για το πώς αντιμετωπίζονται οι σειρές αυτές.

Σωστά. Δεν είχα δει την μικρή παραλλαγή που έκανες στο αρχικό ερώτημα, οπότε δεν μπορούσα να εντοπίσω σε τι οφείλεται η διαφορά, που είναι ούτως ή άλλως επουσιώδης. Πάντως είχα ελέγξει ότι για μικρές και εύκολες τιμές των a, b

όπως η

, που η σειρά υπολογίζεται εύκολα (τηλεσκοπικά), η απάντηση που έγραφα ήταν συμβατή με αυτό των δοκιμαστικών παραδειγμάτων.

Άθροισμα σειράς

Άθροισμα σειράς

Re: Άθροισμα σειράς

Re: Άθροισμα σειράς

Re: Άθροισμα σειράς

Re: Άθροισμα σειράς

Μέλη σε σύνδεση