Σειρά συνεφαπτομένης

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3705
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Σειρά συνεφαπτομένης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Ιαν 12, 2019 11:54 am

Να υπολογιστεί η σειρά:
\displaystyle{z \cot z= 1-2\sum_{j=1}^{\infty} \frac{z^{2j}}{\pi^{2j}} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2j}} \quad , \quad \left | z \right | <\pi}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2186
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σειρά συνεφαπτομένης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Ιαν 12, 2019 12:35 pm

Τι να υπολογίσουμε. Είναι υπολογισμενο.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10945
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σειρά συνεφαπτομένης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 12, 2019 1:05 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 11:54 am
Να υπολογιστεί η σειρά:
\displaystyle{z \cot z= 1-2\sum_{j=1}^{\infty} \frac{z^{2j}}{\pi^{2j}} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2j}} \quad , \quad \left | z \right | <\pi}
(Εννοείς "Να αποδειχθεί ότι ... ")

Είναι άμεσο από τον έτοιμο και γνωστό τύπο

\displaystyle{\pi x \cot \pi x = 1+ 2 x^2\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{x^2- k^2}} θέτοντας z=\pi x και αναπτύσσοντας το άθροισμα από την γεωμετρική σειρά

\displaystyle{ \frac{1}{x^2- k^2}  =  - \dfrac {1}{k^2}   \dfrac {1}{1- \frac {x^2}{k^2} }=  - \dfrac {1}{k^2}    \sum_{j=0}^{\infty} \dfrac{x^{2j}}{ k^{2j}} }


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης