Σειρά συνεφαπτομένης

Tolaso J Kos

Να υπολογιστεί η σειρά:
$\displaystyle{z \cot z= 1-2\sum_{j=1}^{\infty} \frac{z^{2j}}{\pi^{2j}} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2j}} \quad , \quad \left | z \right | <\pi}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ

Τι να υπολογίσουμε. Είναι υπολογισμενο.

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 12, 2019 11:54 am
Να υπολογιστεί η σειρά:
$\displaystyle{z \cot z= 1-2\sum_{j=1}^{\infty} \frac{z^{2j}}{\pi^{2j}} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2j}} \quad , \quad \left | z \right | <\pi}$

(Εννοείς "Να αποδειχθεί ότι ... ")

Είναι άμεσο από τον έτοιμο και γνωστό τύπο

$\displaystyle{\pi x \cot \pi x = 1+ 2 x^2\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{x^2- k^2}}$ θέτοντας $z=\pi x$ και αναπτύσσοντας το άθροισμα από την γεωμετρική σειρά

$\displaystyle{ \frac{1}{x^2- k^2} = - \dfrac {1}{k^2} \dfrac {1}{1- \frac {x^2}{k^2} }= - \dfrac {1}{k^2} \sum_{j=0}^{\infty} \dfrac{x^{2j}}{ k^{2j}} }$

Σειρά συνεφαπτομένης

Σειρά συνεφαπτομένης

Re: Σειρά συνεφαπτομένης

Re: Σειρά συνεφαπτομένης

Μέλη σε σύνδεση