Παρέξενη συμπεριφορά ορίου

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3710
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Παρέξενη συμπεριφορά ορίου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Ιαν 09, 2019 6:19 pm

Με αφορμή το όριο του Κώστα εδώ έρχεται αυτό το post.


Είδαμε στο link ότι το όριο \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\left ( \cos x \right )^{\sin x} - \sqrt{1-x^3}}{x^6} = \frac{1}{4}}. Θα μπορούσε κάποιος να πει ότι κοντά στο 0 είναι \cos x \sim 1 και \sin x \sim 0 και να προσπαθήσει να υπολογίσει το εξής όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-\sqrt{1-x^3}}{x^6}}
Έλα, όμως που το τελευταίο δεν υπάρχει. ( εύκολο να το δείξουμε ). Η ερώτηση είναι γιατί δεν είναι ισοδύναμα αυτά τα δύο όρια;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10951
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παρέξενη συμπεριφορά ορίου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιαν 09, 2019 7:09 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Ιαν 09, 2019 6:19 pm
Με αφορμή το όριο του Κώστα εδώ έρχεται αυτό το post.


Είδαμε στο link ότι το όριο \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\left ( \cos x \right )^{\sin x} - \sqrt{1-x^3}}{x^6} = \frac{1}{4}}. Θα μπορούσε κάποιος να πει ότι κοντά στο 0 είναι \cos x \sim 1 και \sin x \sim 0 και να προσπαθήσει να υπολογίσει το εξής όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-\sqrt{1-x^3}}{x^6}}
Έλα, όμως που το τελευταίο δεν υπάρχει. ( εύκολο να το δείξουμε ). Η ερώτηση είναι γιατί δεν είναι ισοδύναμα αυτά τα δύο όρια;
Τόλη, δεν καταλαβαίνω την ερώτηση: Αφού ούτε το όριο \displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{(\cos x ) ^{\sin x} -1 }{x^6}} υπάρχει, δεν έχουμε κανένα λόγο να αναμένουμε ότι υπάρχει το παραπάνω όριο. Αλίμονο αν στα όρια μετρούσε μόνο ο σταθερός όρος του αναπτύγματος Taylor ενώ, όπως εδώ, έχουμε παρονομαστή x^6. Ότι και να κάνουμε, αν χρησιμοποιήσουμε ανάπτυγμα Taylor, δεν την σκαπουλάρουμε χωρίς να φτάσουμε στον όρο x^6.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες