Ανισότητα με κυρτή συνάρτηση

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3710
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Ανισότητα με κυρτή συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Ιαν 08, 2019 12:12 pm

Αν a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_{2m-1} \geq 0 και f κυρτή συνάρτηση στο [0, a_1] να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\sum_{k=1}^{2m-1} (-1)^{k-1} f(a_k) \geq f\left ( \sum_{k=1}^{2m-1} (-1)^{k-1} a_k \right )}
Δεν έχω λύση.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6146
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ανισότητα με κυρτή συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Ιαν 08, 2019 7:02 pm

Ουσιαστικά προκύπτει επαγωγικά από την ανισότητα που αποδεικνύεται εδώ.

Για τρεις αριθμούς είναι η ακόλουθη:
matha έγραψε:
Τρί Σεπ 06, 2011 9:07 am

Πρόταση:

Αν \displaystyle{f} κυρτή συνάρτηση στο διάστημα \displaystyle{D} και \displaystyle{a,b,c\in D} με \displaystyle{a\leq b\leq c,} τότε ισχύει

\displaystyle{f(a-b+c)+f(b)\leq f(a)+f(c).}

Απόδειξη:

Επειδή είναι \displaystyle{b\in [a,c]}, υπάρχουν \displaystyle{m,n \in [0,1]} με \displaystyle{m+n=1} ώστε \displaystyle{b=ma+nc.} (αυτό ουσιαστικά μας λέει ότι το διάστημα είναι κυρτό σύνολο)

Επομένως, είναι

\displaystyle{f(b)=f(ma+nc)\leq mf(a)+nf(c)} (\displaystyle{\color {red}\spadesuit})

(η παραπάνω ανισότητα ισχύει λόγω κυρτότητας της \displaystyle{f}).

Ακόμα είναι \displaystyle{a-b+c=a-ma-nc+c=(1-m)a+(1-n)c=na+mc.}

Άρα, πάλι λόγω κυρτότητας, έχουμε

\displaystyle{f(a-b+c)=f(na+mc)\leq nf(a)+mf(c)} (\displaystyle{\color {red}\spadesuit \spadesuit})

Με πρόσθεση των (\displaystyle{\color {red}\spadesuit , \color {red}\spadesuit \spadesuit}) προκύπτει η ζητούμενη.


Μάγκος Θάνος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2190
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα με κυρτή συνάρτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Ιαν 08, 2019 9:47 pm

Μετά την απόδειξη του Θάνου για m=2 εύκολα μπορούμε με επαγωγή να πάμε στο γενικό.

Αρκεί να παρατηρήσουμε ότι

a_{1}-a_{2}+.......+a_{2m-3}-a_{2m-2}+a_{2m-1} \geq a_{2m-1}\geq a_{2m}\geq a_{2m+1}

και να το εφαρμόσουμε για 3 σημεία.

Η απόδειξη για m=2 δηλαδή για 3 σημεία μπορεί να γίνει και διαφορετικά.

Είναι γνωστό ότι αν η f είναι κυρτή τότε

\displaystyle f(x)=f(0)+\int_{0}^{x}g(x)dx

όπου g(x) είναι αύξουσα συνάρτηση

(για g(x) παίρνουμε την δεξιά η αριστερή παράγωγο)

για m=2 πρέπει να αποδείξουμε ότι

\displaystyle  \int_{0}^{a_{1}}g(x)dx-\int_{0}^{a_{2}}g(x)dx+\int_{0}^{a_{3}}g(x)dx\geq \int_{0}^{a_{1}-a_{2}+a_{3}}g(x)dx

η ισοδύναμα

\displaystyle \int_{a_{2}}^{a_{1}}g(x)dx\geq \int_{a_{3}}^{a_{1}-a_{2}+a_{3}}g(x)dx

που ισχύει αφού η g είναι αύξουσα και τα διαστήματα

[a_{2},a_{1}],[a_{3},a_{1}-a_{2}+a_{3}]

εχουν το ίδιο μήκος a_{1}-a_{2} και το πρώτο βρίσκεται δεξιότερα του δεύτερου.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες