Σύγκλιση

Chatzibill · #1

Να εξεταστεί ως προς τη σύγκλιση η σειρά $\sum_{n=1}^{\propto } \theta ^{\sqrt{n}} ,\theta \in (0,1)$

Tolaso J Kos · #2

Chatzibill έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 07, 2019 10:19 pm
Να εξεταστεί ως προς τη σύγκλιση η σειρά $\sum \limits_{n=1}^{\infty } \theta ^{\sqrt{n}} ,\theta \in (0,1)$

Γενικά,

(α) Για $|\theta|>1$ η σειρά αποκλίνει αφού ο γενικός όρος δε πάει στο

.

(β) Όταν $|\theta|<1$ έχουμε:

$\displaystyle{0\leq \left | \theta \right |^{\sqrt{n}} \leq \frac{c}{n^2} \quad \text{\gr για κάθε}\;\;n \geq 1}$
για κάποια θετική σταθερά

και άρα η σειρά συγκλίνει απόλυτα. Το τελευταίο , διότι:

$\displaystyle{n^2 |\theta|^{\sqrt{n}} =\exp \left(2\log n +\log|\theta|\sqrt{n} \right)=\exp \left(\log|\theta|\sqrt{n}\left(1+\frac{2\log n}{\log|\theta|\sqrt{n}}\right)\right) \rightarrow 0 }$
(γ) Για $\theta=0$ το άθροισμα προφανώς κάνει

και άρα η σειρά συγκλίνει.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 07, 2019 10:30 pm

Chatzibill έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 07, 2019 10:19 pm
Να εξεταστεί ως προς τη σύγκλιση η σειρά $\sum \limits_{n=1}^{\infty } \theta ^{\sqrt{n}} ,\theta \in (0,1)$

Γενικά,

(α) Για $|\theta|>1$ η σειρά αποκλίνει αφού ο γενικός όρος δε πάει στο .

(β) Όταν $|\theta|<1$ έχουμε:

$\displaystyle{0\leq \left | \theta \right |^{\sqrt{n}} \leq \frac{c}{n^2} \quad \text{\gr για κάθε}\;\;n \geq 1}$
για κάποια θετική σταθερά και άρα η σειρά συγκλίνει απόλυτα. Το τελευταίο , διότι:

$\displaystyle{n^2 |\theta|^{\sqrt{n}} =\exp \left(2\log n +\log|\theta|\sqrt{n} \right)=\exp \left(\log|\theta|\sqrt{n}\left(1+\frac{2\log n}{\log|\theta|\sqrt{n}}\right)\right) \rightarrow 0 }$
(γ) Για $\theta=0$ το άθροισμα προφανώς κάνει και άρα η σειρά συγκλίνει.

Λίγο πιο απλά η βασική ανισότητα

Είναι

$\displaystyle \log n^{2}\theta ^{\sqrt{n}}=2\log n+\sqrt{n}\log \theta =\sqrt{n}(\frac{2\log n}{\sqrt{n}}+\log \theta )\rightarrow -\infty$

Αρα για $n\geq n_{0}$
είναι

$\displaystyle \log n^{2}\theta ^{\sqrt{n}}\leq -2=\log e^{-2}$

δηλαδή για $n\geq n_{0}$

$\displaystyle\theta ^{\sqrt{n}}\leq \frac{e^{-2}}{n^{2}}$

συμπλήρωμα.
ακόμα πιο απλά.

$\displaystyle\theta ^{\sqrt{n}}=e^{\sqrt{n}\log \theta }=\frac{1}{e^{\sqrt{n}\log \frac{1}{ \theta} }}\leq \frac{3!}{(\sqrt{n}\log \frac{1}{\theta})^{3}}=\frac{C}{n^\frac{3}{2}}$

Σύγκλιση

Σύγκλιση

Re: Σύγκλιση

Re: Σύγκλιση

Μέλη σε σύνδεση