Σύγκλιση

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Chatzibill
Δημοσιεύσεις: 34
Εγγραφή: Παρ Οκτ 05, 2018 4:53 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Σύγκλιση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Chatzibill » Δευ Ιαν 07, 2019 10:19 pm

Να εξεταστεί ως προς τη σύγκλιση η σειρά \sum_{n=1}^{\propto } \theta ^{\sqrt{n}} ,\theta \in (0,1)



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3834
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Σύγκλιση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Ιαν 07, 2019 10:30 pm

Chatzibill έγραψε:
Δευ Ιαν 07, 2019 10:19 pm
Να εξεταστεί ως προς τη σύγκλιση η σειρά \sum \limits_{n=1}^{\infty } \theta ^{\sqrt{n}} ,\theta \in (0,1)

Γενικά,

(α) Για |\theta|>1 η σειρά αποκλίνει αφού ο γενικός όρος δε πάει στο 0.

(β) Όταν |\theta|<1 έχουμε:

\displaystyle{0\leq \left | \theta \right |^{\sqrt{n}} \leq \frac{c}{n^2} \quad \text{\gr για κάθε}\;\;n \geq 1}
για κάποια θετική σταθερά c και άρα η σειρά συγκλίνει απόλυτα. Το τελευταίο , διότι:

\displaystyle{n^2 |\theta|^{\sqrt{n}} =\exp \left(2\log n +\log|\theta|\sqrt{n} \right)=\exp \left(\log|\theta|\sqrt{n}\left(1+\frac{2\log n}{\log|\theta|\sqrt{n}}\right)\right) \rightarrow 0  }
(γ) Για \theta=0 το άθροισμα προφανώς κάνει 0 και άρα η σειρά συγκλίνει.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2345
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σύγκλιση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιαν 07, 2019 11:01 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Ιαν 07, 2019 10:30 pm
Chatzibill έγραψε:
Δευ Ιαν 07, 2019 10:19 pm
Να εξεταστεί ως προς τη σύγκλιση η σειρά \sum \limits_{n=1}^{\infty } \theta ^{\sqrt{n}} ,\theta \in (0,1)

Γενικά,

(α) Για |\theta|>1 η σειρά αποκλίνει αφού ο γενικός όρος δε πάει στο 0.

(β) Όταν |\theta|<1 έχουμε:

\displaystyle{0\leq \left | \theta \right |^{\sqrt{n}} \leq \frac{c}{n^2} \quad \text{\gr για κάθε}\;\;n \geq 1}
για κάποια θετική σταθερά c και άρα η σειρά συγκλίνει απόλυτα. Το τελευταίο , διότι:

\displaystyle{n^2 |\theta|^{\sqrt{n}} =\exp \left(2\log n +\log|\theta|\sqrt{n} \right)=\exp \left(\log|\theta|\sqrt{n}\left(1+\frac{2\log n}{\log|\theta|\sqrt{n}}\right)\right) \rightarrow 0  }
(γ) Για \theta=0 το άθροισμα προφανώς κάνει 0 και άρα η σειρά συγκλίνει.
Λίγο πιο απλά η βασική ανισότητα

Είναι

\displaystyle \log n^{2}\theta ^{\sqrt{n}}=2\log n+\sqrt{n}\log \theta =\sqrt{n}(\frac{2\log n}{\sqrt{n}}+\log \theta )\rightarrow -\infty

Αρα για n\geq n_{0}
είναι

\displaystyle \log n^{2}\theta ^{\sqrt{n}}\leq -2=\log e^{-2}

δηλαδή για n\geq n_{0}

\displaystyle\theta ^{\sqrt{n}}\leq \frac{e^{-2}}{n^{2}}

συμπλήρωμα.
ακόμα πιο απλά.

\displaystyle\theta ^{\sqrt{n}}=e^{\sqrt{n}\log \theta }=\frac{1}{e^{\sqrt{n}\log \frac{1}{ \theta} }}\leq \frac{3!}{(\sqrt{n}\log \frac{1}{\theta})^{3}}=\frac{C}{n^\frac{3}{2}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες