Kριτήριο των Abel - Pringsheim

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

i_am_imbact
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Τρί Δεκ 25, 2018 12:57 am

Kριτήριο των Abel - Pringsheim

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από i_am_imbact » Τρί Δεκ 25, 2018 1:10 am

Καλησπέρα σας,
Πως αποδεικνύεται ότι αν (a_n) μια φθίνουσα ακολουθία μη αρνητικών όρων και η σειρά \displaystyle \sum a_n συγκλίνει τότε το \lim\limits_{n \to \infty} na_n \to 0?

Και δεύτερον πιο είναι το όριο της ακολουθίας \displaystyle a_n = \frac{1^m + 2^m + \cdots + n^m}{n^m} - \frac{n}{m+1} προσπάθησα με την ανισότητα του Αρχιμήδη αλλα δεν έβγαζε αποτέλεσμα
τελευταία επεξεργασία από i_am_imbact σε Τετ Ιαν 09, 2019 1:30 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10837
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Δεκ 25, 2018 1:38 am

i_am_imbact έγραψε:
Τρί Δεκ 25, 2018 1:10 am
Καλησπέρα σας,
Πωσ αποδεικνύεται ότι αν (αν) μια φθίνουσα ακολουθία μη αρνητικών όρων και η σειρά Σ(αν) συγκλίνει τότε το limναν -> 0 ?

Και δεύτερον πιο είναι το όριο της ακολουθίασ αν = (1^μ + 2^μ + .... + ν^μ) /(ν^μ) - ν/(μ+1) προσπάθησα με την ανισότητα του αρχιμίδη αλλα δεν έβγαζε αποτέλεσμα
Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Παρακαλώ γράψε το ποστ σου σε latex, όπως πολύ σωστά ορίζουν οι κανονισμοί μας. Τους διάβασες άραγε; Έτσι μας διευκολύνεις να καταλάβουμε ότι στο " limναν " που γράφεις, το μεν πρώτο "ν" είναι γινόμενο ενώ το δεύτερο, δείκτης. Εδώ \displaystyle{\lim \nu a_{\nu}}. Θα σου απαντήσω αφού τα διορθώσεις, ιδίως στην δεύτερη ερώτηση που είναι προβληματικά τα σύμβολα.

Τους κανονισμούς μας θα τους βρεις στην πρώτη σελίδα του φόρουμ. Εκεί θα βρεις και οδηγίες για γραφή σε latex.

Επίσης καλό είναι να γράφουμε στοιχειωδώς σωστά Ελληνικά (και αυτό το απαιτούν οι κανονισμοί μας) γιατί αλλιώς είναι σαν να δίνουμε το μήνυμα ότι γράφουμε πρόχειρα. Για παράδειγμα ο Αρχιμήδης γράφεται με Α κεφαλαίο ως κύριο όνομα και με "η" μετά το "μ".


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10837
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 27, 2018 7:04 pm

i_am_imbact χάθηκες. Καμιά πρόοδος στα παραπάνω;


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7996
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Δεκ 27, 2018 9:56 pm

Γράφτηκε σε \LaTeX αλλά δεν έγινε άλλη επέμβαση.

Να επισημάνω επίσης ότι το \lim a_n \to 0 δεν έχει νόημα. Γράφουμε είτε \lim a_n = 0 είτε a_n \to 0 αλλά όχι \lim a_n \to 0.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10837
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 27, 2018 10:15 pm

Ευχαριστούμε Δημήτρη.

Θα περιμένω να δώσει σημεία ζωής ο i_am_imbact (π.χ. διορθώνοντας τα ελληνικά του κειμένου) και θα δώσω υποδείξεις.


i_am_imbact
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Τρί Δεκ 25, 2018 12:57 am

Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από i_am_imbact » Τετ Ιαν 09, 2019 12:17 am

Καλησπέρα σας και Καλή χρονιά,
Συγγνώμη για την καθυστέρηση.Διάβασα τους κανονισμούς αλλά δεν βρήκα οδηγίες για γραφή σε latex.Μπορείτε να με κατατοπίσετε.

Ευχαριστώ για τον χρόνο σας.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10837
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιαν 09, 2019 1:21 am

i_am_imbact έγραψε:
Τετ Ιαν 09, 2019 12:17 am
Καλησπέρα σας και Καλή χρονιά,
Συγγνώμη για την καθυστέρηση.Διάβασα τους κανονισμούς αλλά δεν βρήκα οδηγίες για γραφή σε latex.Μπορείτε να με κατατοπίσετε.

Ευχαριστώ για τον χρόνο σας.
Περίεργο ότι δεν βρήκες τις οδηγίες!

Πήγαινε στην πρώτη σελίδα του φόρουμ (Δ. Συζητήσεις) και εκεί προς το τέλος έχει ολόκληρη οικογένεια οδηγιών. Το πρώτο ποστ εκεί (πάτα εδώ) είναι καλό ξεκίνημα.

Και κάτι άλλο: Το latex στο παραπάνω ποστ σου έχει ήδη διορθωθεί από τον Γενικό Συντονιστή. Σου ζητήθηκε να διορθώσεις τα Ελληνικά (σημειωμένα με κόκκινο στο πρώτο μου ποστ) αλλά δεν φαίνεται να του έδωσες σημασία. Περιμένουμε.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10837
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιαν 09, 2019 11:35 am

i_am_imbact έγραψε:
Τρί Δεκ 25, 2018 1:10 am
Πως αποδεικνύεται ότι αν (a_n) μια φθίνουσα ακολουθία μη αρνητικών όρων και η σειρά \displaystyle \sum a_n συγκλίνει τότε το \lim\limits_{n \to \infty} na_n \to 0?
Ωραία. Με διορθωμένα τα Ελληνικά, έστω μερικώς, προχωράμε. Να επισημάνω μόνο ότι α) το "πώς" στις ερωτηματικές προτάσεις παίρνει τόνο και β) το σύμβολο του ερωτηματικού στα Ελληνικά είναι το ";" ενώ το "?" είναι του Λατινικού. Δεν βλέπω τον λόγο να εξοβελίζουμε το ελληνικό σύμβολο χωρίς αιτία.

Στο θέμα μας.

Για το πρώτο ερώτημα δίνω ισχυρή υπόδειξη. Αφού το ολοκληρώσεις με την λύση σου που θα χαρούμε να δούμε εδώ, προχωράμε στο δεύτερο.

Υπόδειξη:

Θα δείξουμε πρώτα ότι 2na_{2n} \to 0. Δηλαδή δείχνουμε το ζητούμενο πρώτα για τους άρτιους δείκτες, ενώ για τους υπόλοιπους μπορούμε να βασιστούμε σε αυτό και την υπόθεση ότι η (a_n) είναι φθίνουσα. Για του άρτιους, λοιπόν, δείξε με κριτήριο Cauchy ότι

a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{2n} \to 0.

Μετά, από αυτό και με χρήση της υπόθεσης ότι (a_n) φθίνουσα, δείξε ότι na_{2n}\to 0.

Συνέχισε.


i_am_imbact
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Τρί Δεκ 25, 2018 12:57 am

Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από i_am_imbact » Πέμ Ιαν 10, 2019 3:04 am

Καλησπέρα,
Έστω c_n = n{a_n} , c_{2n} = 2na_{2n} και c_{2n-1} = (2n-1){a_{2n-1} ,επιπλέον επειδή η σειρά \displaystyle \sum a_n συγκλίνει a_n \rightarrow 0 . Επειδή η (a_n) συγκλίνει τότε κάθε υπακολουθία της μορφής a_{kn+no} , k>0 συγκλίνει στον ίδιο αριθμό άρα a_{n+1} \rightarrow 0 , a_{n+2} \rightarrow 0 ...…., a_{2n-1} \rightarrow 0 a_{2n} \rightarrow 0 επειδή (a_n) φθίνουσα ισχύει
a_{n+1} + a_{n+2} + …. + a_{2n-1} + a_{2n} > a_{2n} + a_{2n} +.... a_{2n} + a_{2n} συνεπάγεται ότι a_{n+1} + a_{n+2} + …. + a_{2n-1} + a_{2n} > n{a_{2n}}  >  0 άρα από κριτήριο παρεμβολής n{a_{2n}}\rightarrow 0 άρα 2n{a_{2n}}\rightarrow 0 άρα c_{2n}\rightarrow 0 παρόμοια εργαζόμαστε και με την c_{2n-1} άρα επειδή αυτές οι υπακολουθίες τείνουν στο 0 και η c_n\rightarrow 0
τελευταία επεξεργασία από i_am_imbact σε Πέμ Ιαν 10, 2019 9:16 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10837
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιαν 10, 2019 9:06 am

Όχι ακριβώς. Υπάρχει ένα σκοτεινό αλλά ουσιαστικό σημείο, που δεν το ξεκαθαρίζεις.

Ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή.

Πρώτα από όλα η απόδειξη έχει ένα περίεργο και περιττό μέρος. Συγκεκριμένα, ορίζεις τα c_n για να σε διευκολύνουν στην απόδειξη του 2na_{2n}\to 0. Όμως στην ίδια την απόδειξη γράφεις
.
i_am_imbact έγραψε:
Πέμ Ιαν 10, 2019 3:04 am

Έστω c_n = n{a_n} , c_{2n} = 2na_{2n} και c_{2n-1} = (2n-1){a_{2n-1}
...
άρα 2n{a_{2n}}\rightarrow 0 άρα c_{2n}\rightarrow 0
.
Δηλαδή κάνεις το ανάποδο. Ως ύφος είναι "αστείο". Ερασιτεχνισμός. Ας το αφήσουμε αυτό ως δευτερεύον.

Το πρόβλημα (ουσιαστικό κενό) είναι αλλού. Είναι στο ότι φαίνεται να νομίζεις ότι
.
i_am_imbact έγραψε:
Πέμ Ιαν 10, 2019 3:04 am
άρα a_{n+1} \rightarrow 0 , a_{n+2} \rightarrow 0 ...…., a_{2n-1} \rightarrow 0 a_{2n} \rightarrow 0
...
συνεπάγεται ότι a_{n+1} + a_{n+2} + …. + a_{2n-1} + a_{2n} > n{a_{2n}}  >  0 άρα από κριτήριο παρεμβολής n{a_{2n}}\rightarrow 0
.
Δηλαδή νομίζεις ότι επειδή τα a_{n+1} \rightarrow 0 , a_{n+2} \rightarrow 0 ...…., a_{2n-1} \rightarrow 0 a_{2n} \rightarrow 0 τότε και το άθροισμά τους τείνει στο 0. Αυτό είναι γενικά λάθος, π.χ. \frac {1}{n+1} \to 0, \frac {1}{n+2} \to 0, ... , \frac {1}{2n} \to 0 αλλά το άθροισμά τους είναι \ge n\cdot \frac {1}{2n} = \frac {1}{2} και άρα δεν τείνει στο 0. Στην περίπτωσή μας το αποτέλεσμα είναι μεν σωστό αλλά όχι για τον λόγο που γράφεις.

Δες ξανά την υπόδειξη που σου έδωσα και ξανακάνε την απόδειξη συμπληρώνοντας το ουσιαστικό βήμα που σου λείπει.


i_am_imbact
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Τρί Δεκ 25, 2018 12:57 am

Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από i_am_imbact » Πέμ Ιαν 10, 2019 9:16 am

Η να θεωρήσουμε S_{an} = a_1 + a_2 + ... a_n η οποία συγκλίνει επειδή η σειρά \displaystyle \sum a_n Συγκλίνει, συγκλίνει και το S_{an} και εφαρμόζουμε το κριτήριο Cauchy για την S_{an} και την S_{a2n} και καταλήγουμε στο a_{n+1} +.... + a_{2n}\rightarrow 0


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10837
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιαν 10, 2019 12:18 pm

i_am_imbact έγραψε:
Πέμ Ιαν 10, 2019 9:16 am
Η να θεωρήσουμε S_{an} = a_1 + a_2 + ... a_n η οποία συγκλίνει επειδή η σειρά \displaystyle \sum a_n Συγκλίνει, συγκλίνει και το S_{an} και εφαρμόζουμε το κριτήριο Cauchy για την S_{an} και την S_{a2n} και καταλήγουμε στο a_{n+1} +.... + a_{2n}\rightarrow 0
Τώρα, μάλιστα. Σωστό.

Το μόνο πρόβλημα, ευτυχώς δευτερεύον και καταλαβαίνουμε τι εννοείς, είναι o αδόκιμος συμβολισμός. Δεν γράφουμε S_{an} ή S_{a_n} όπως προφανώς θέλεις να γράψεις, αλλά S_n. Δηλαδή ο δείκτης στο S είναι φυσικός αριθμός και όχι ο όρος της ακολουθίας. Πρώτα απ' όλα αυτό που γράφεις έχει αμφισημία. Π.χ. αν a_1=a_2= \sqrt 2, ποιοι ακριβώς είναι οι S_{a_1}, \, S_{a_2}. Και οι δύο είναι S_{\sqrt 2} που ως σύμβολο δημιουργεί περισσότερα προβλήματα από όσα λύνει.


i_am_imbact
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Τρί Δεκ 25, 2018 12:57 am

Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από i_am_imbact » Πέμ Ιαν 10, 2019 11:08 pm

Μάλιστα ευχαριστώ πολύ


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες