Ακολουθία συναρτήσεων

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

papagedg
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 22, 2018 6:38 pm

Ακολουθία συναρτήσεων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papagedg » Σάβ Δεκ 22, 2018 6:48 pm

Έστω μια ακολουθία πολυωνύμων που συγκλίνει ομοιόμορφα στο \mathbb{R}
.Πώς δείχνω ότι η συνάρτηση όριο είναι πολυώνυμο;



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10835
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ακολουθία συναρτήσεων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 22, 2018 7:03 pm

Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Ελπίζω η άσκηση να μην είναι "για το σπίτι" από μαθήματα που παρακολουθείς. Γι' αυτό θα δώσω μόνο

Υπόδειξη: Η συγκλίνουσα ακολουθία θα είναι ομοιόμορφα Caychy, οπότε κοίτα τι γίνεται με τους βαθμούς των πολυωνύμων. Θα μπορούσε να είναι τελικά διαφορετικοί;


papagedg
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 22, 2018 6:38 pm

Re: Ακολουθία συναρτήσεων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papagedg » Σάβ Δεκ 22, 2018 8:08 pm

Ευχαριστώ πολύ.Όχι δεν είναι για το σπίτι.Είναι άσκηση του βιβλίου πραγματικής ανάλυσης και είναι στις επαναληπτικές.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10835
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ακολουθία συναρτήσεων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 22, 2018 9:05 pm

papagedg έγραψε:
Σάβ Δεκ 22, 2018 8:08 pm
Ευχαριστώ πολύ.Όχι δεν είναι για το σπίτι.Είναι άσκηση του βιβλίου πραγματικής ανάλυσης και είναι στις επαναληπτικές.
.
Θα χαρούμε να δούμε την λύση σου εδώ.

Ας προσθέσω ότι το συμπέρασμα που πραγματικά βγαίνει από την άσκηση είναι αρκετά απρόσμενο. Θα το θέσω ως ερώτημα.

Αν (p_n) η ακολουθία και p το όριο, ποια είναι η σχέση καθενός από τα p_n με τo p, τουλάχιστον από έναν δείκτη και μετά;


papagedg
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 22, 2018 6:38 pm

Re: Ακολουθία συναρτήσεων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papagedg » Κυρ Δεκ 23, 2018 12:01 am

Προσωπικά δε μου φαίνεται απρόσμενο το αποτέλεσμα.Ξέρω ότι η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη άρα εφαρμόζεται το κριτήριο του Cauchy για ομοιόμορφη σύγκλιση, δλδ. \forall \epsilon > 0    \exists n_{0} :    \forall n,m\geq n_{0}       \left | p_{n}-p_{m} \right |< \epsilon .Έχω κολλήσει στο πώς από αυτό θα συμπεράνω ότι η συνάρτηση όριο είναι πολυώνυμο.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10835
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ακολουθία συναρτήσεων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 23, 2018 10:53 am

Προφανώς δεν έχεις καταλάβει πιο είναι αυτό που ονομάζω απρόσμενο (πάντως δεν είναι απλά ότι η οριακή συνάρτηση είναι πολυώνυμο). Δεν το αναφέρω τώρα για να μην χαλάσω την άσκηση που έβαλα στο αμέσως προηγούμενο ποστ μου.

Για το αρχικό ερώτημα θα δώσω μια υπόδειξη παραπάνω αν και νομίζω ότι έχεις ήδη αρκετά στοιχεία για την επίλυση της απορίας σου.

Έχουμε λοιπόν ότι υπάρχει  n_{0} τέτοιο ώστε \forall n,m\geq n_{0}  ισχύει \displaystyle{\sup_{x\in \mathbb R}      \left | p_{n}(x)-p_{m} (x)\right |< 1}. Τι συμπέρασμα βγάζεις από αυτό για τους πιο υψηλόβαθμους όρους των p_n, p_m;


papagedg
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 22, 2018 6:38 pm

Re: Ακολουθία συναρτήσεων

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papagedg » Κυρ Δεκ 23, 2018 2:22 pm

Ότι έχουν τον ίδιο βαθμό.Όχι μόνο οι υψηλόβαθμοι όμως.Εφόσον το χ ανήκει στο\mathbb{R}.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10835
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ακολουθία συναρτήσεων

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 23, 2018 6:37 pm

papagedg έγραψε:
Κυρ Δεκ 23, 2018 2:22 pm
Ότι έχουν τον ίδιο βαθμό.Όχι μόνο οι υψηλόβαθμοι όμως.Εφόσον το χ ανήκει στο\mathbb{R}.
Όχι μόνο. Το συμπέρασμα είναι ισχυρότερο από αυτό που γράφεις.

Καλό είναι να δίνεις ολοκληρωμένες απαντήσεις ή, έστω, με κάποια περίληψη του συλλογισμού. Οι κάπως γενικές και αόριστες απαντήσεις προκαλούν "σούρτα φέρτα" και κουράζουν τους αναγνώστες. Είμαστε στο όγδοο ποστ, και ακόμη δεν έχουμε σαφή απάντηση, αν και το θέμα είναι απλό.


papagedg
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 22, 2018 6:38 pm

Re: Ακολουθία συναρτήσεων

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papagedg » Κυρ Δεκ 23, 2018 6:56 pm

νομίζω το βρήκα.Εφόσον ισχύει \forall \epsilon > 0 \exists n_{0} τέτοιο ώστε \forall n,m\geq n_{0}
να ισχύει \left | p_{n}-p_{m} \right |< \epsilon τα 2 πολυώνυμα είναι ίσα μετά το δείκτη n_{0}. Οπότε από αυτή την ανισότητα παίροντας όριο καθώς m τείνει στο άπειρο έχουμε ότι η συνάρτηση όριο p είναι ίση με το p_{n} και άρα είναι πολυώνυμο.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10835
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ακολουθία συναρτήσεων

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 23, 2018 7:13 pm

papagedg έγραψε:
Κυρ Δεκ 23, 2018 6:56 pm
νομίζω το βρήκα.Εφόσον ισχύει \forall \epsilon > 0 \exists n_{0} τέτοιο ώστε \forall n,m\geq n_{0}
να ισχύει \left | p_{n}-p_{m} \right |< \epsilon τα 2 πολυώνυμα είναι ίσα μετά το δείκτη n_{0}. Οπότε από αυτή την ανισότητα παίροντας όριο καθώς m τείνει στο άπειρο έχουμε ότι η συνάρτηση όριο p είναι ίση με το p_{n} και άρα είναι πολυώνυμο.
Όχι ακριβώς αλλά είσαι πολύ κοντά: Και οι σταθεροί όροι των πολυωνύμων είναι ίσιοι; Για δες το αυτό.


papagedg
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 22, 2018 6:38 pm

Re: Ακολουθία συναρτήσεων

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papagedg » Δευ Δεκ 24, 2018 1:13 pm

Και οι σταθεροί όροι είναι ίσοι. Εφόσον η ανισότητα ισχύει \forall \epsilon > 0.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10835
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ακολουθία συναρτήσεων

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Δεκ 24, 2018 4:43 pm

papagedg έγραψε:
Δευ Δεκ 24, 2018 1:13 pm
Και οι σταθεροί όροι είναι ίσοι. Εφόσον η ανισότητα ισχύει \forall \epsilon > 0.
.
Όχιιιιιιιιιιι! ΠΑΡΑ πολύ λάθος.

Φοβάμαι ότι δεν έχεις κατανοήσεις την ουσία του εψιλοντικού ορισμού σύγκλισης. Ο ορισμός βασίζεται στην αλληλοεξάρτηση δύο ποσοδεικτών. Στο πολύ λάθος βήμα που σημείωσα με κόκκινο, πήγε περίπατο ο άλλος ποσοδείκτης.

Επειδή έχει αρχίσει και με κουράζει αυτό το θέμα (φτάσαμε τα 12 ποστ για κάτι απλό αλλά έχουμε ελάχιστη πρόοδο) θα κάνω μία τελευταία προσπάθεια:

Γράψε μας πώς ακριβώς βρήκες ότι όλοι οι συντελεστές των πολυωνύμων είναι ίσοι. Και (σημαντικότερο) σε πιο ακριβώς βήμα χρησιμοποίησες την ομοιόμορφη σύγκλιση σε ολόκληρο το \mathbb R.

Επίσης, για να φανεί αν πραγματικά κατάλαβες την ουσιαστική εξάρτηση στην ομοιόμορφη σύγκλιση σε ολόκληρο το \mathbb R, δώσε παραδείγματα
α) ακολουθίας (p_n) πολυωνύμων που συγκλίνουν κατά σημείο στο \mathbb σε μία f, αλλά η f δεν είναι πολυώνυμο,
β) ακολουθίας (q_n) πολυωνύμων που συγκλίνουν ομοιόμορφα σε ένα δοσμένο [a,b] σε μία f, αλλά η f δεν είναι πολυώνυμο.

Tα τελευταία το ζητώ και για έναν ακόμη λόγο: Στο ποστ #5 έγραψες ότι "Προσωπικά δε μου φαίνεται απρόσμενο το αποτέλεσμα". Προφανώς δεν έχεις καταλάβει γιατί είναι απρόσμενο. Π.χ. γιατί όταν η σύγκλιση είναι κατά σημείο τότε δεν είναι κατ' ανάγκη πολυώνυμο η οριακή; Τι άλλαξε από την μία σύγκλιση στην άλλη;


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10835
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ακολουθία συναρτήσεων

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Δεκ 28, 2018 9:28 am

papagedg χάθηκες. Έχουμε καμιά πρόοδο στα παραπάνω;


papagedg
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 22, 2018 6:38 pm

Re: Ακολουθία συναρτήσεων

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papagedg » Τετ Ιαν 02, 2019 7:28 pm

Συγγνώμη για το χάσιμο.Ήμουν εκτός. Λοιπόν το ότι οι συντελεστές είναι ίσοι το έβγαλα από το ότι \forall \epsilon > 0 \exists n_{0}
τέτοιο ώστε \left | p_{n} (x)-p_{m}(x)\right |< \epsilon . Η διαφορά των p_{n}
p_{m} έίναι πολυώνυμο στο οποίο αφαιρούνται οι ομοβάθμιοι όροι και εφόσον το sup αυτής της διαφοράς είναι μικρότερο του \epsilon αναγκαστικά οι ομοβάθμιοι όροι θα είναι ίσοι.


papagedg
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 22, 2018 6:38 pm

Re: Ακολουθία συναρτήσεων

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papagedg » Τετ Ιαν 02, 2019 7:52 pm

Εφόσον η ανισότητα ισχύει \forall \epsilon > 0 και \forall n,m \geq n_{0} για n σταθερό παίρνω όριο για m\rightarrow \infty και έχω ότι η συνάρτηση όριο είναι πολυώνυμο. Την ομοιόμορφη σύγκλιση τη χρησιμοποιώ για το κριτήριο Cauchy.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10835
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ακολουθία συναρτήσεων

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιαν 02, 2019 9:52 pm

Όπως γράφω παραπάνω με κουράζει η πρακτική σου να γράφεις μισές και ασαφείς λύσεις. Μαθηματικά "του περίπου".

Διάβασε το ποστ μου #12 και παρακαλώ απάντησε στα ερωτήματα.
papagedg έγραψε:
Τετ Ιαν 02, 2019 7:28 pm
Η διαφορά των p_{n}
p_{m} έίναι πολυώνυμο στο οποίο αφαιρούνται οι ομοβάθμιοι όροι και εφόσον το sup αυτής της διαφοράς είναι μικρότερο του \epsilon αναγκαστικά οι ομοβάθμιοι όροι θα είναι ίσοι.
Ελλειπέστατο. Είναι μεν σωστό το αποτέλεσμα αλλά όχι για τον λόγο που γράφεις (λείπει η φράση κλειδί για την απόδειξη).

papagedg έγραψε:
Τετ Ιαν 02, 2019 7:52 pm
Εφόσον η ανισότητα ισχύει \forall \epsilon > 0 και \forall n,m \geq n_{0} για n σταθερό παίρνω όριο για m\rightarrow \infty και έχω ότι η συνάρτηση όριο είναι πολυώνυμο.
Από πού και ως πού; Είναι μόνο κατά δήλωσή σου. Απόδειξη δεν υπάρχει. Αν είχες μελετήσει τα σχόλια που έγραψα στο ποστ #12, θα καταλάβαινες γιατί είναι ελλειπέστατο.

papagedg έγραψε:
Τετ Ιαν 02, 2019 7:52 pm
Την ομοιόμορφη σύγκλιση τη χρησιμοποιώ για το κριτήριο Cauchy.
Όχι. Σε κάποιο άλλο σημείο είναι ουσιαστικότερη η χρήση της. Για παράδειγμα το θεώρημα ΔΕΝ ισχύει για ομοιόμορφη σύγκλιση σε [a,b] οπότε σου λείπει ΚΑΤΙ ΟΥΣΙΑΣΤΙΚΟ στην απόδειξή σου. Αν καταλάβεις γιατί σου ζήτησα παράδειγμα

β) ακολουθίας (q_n) πολυωνύμων που συγκλίνουν ομοιόμορφα σε ένα δοσμένο [a,b] σε μία f, αλλά η f δεν είναι πολυώνυμο.

τότε έχεις ελπίδα. Αλλιώς μένεις με ατεκμηρίωτα τα ουσιαστικά σημεία.

Είμαστε στο ποστ #16 και ακόμη γυροφέρνουμε στα ίδια και τα ίδια. Ας κλείνει το θέμα γιατί δεν αξίζει τόση έκταση για κάτι τόσο απλό.

Θα σε παρακαλέσω να επανέλθεις στο θέμα ΜΟΝΟ αν απαντήσεις με πληρότητα σε ΟΛΑ τα ερωτήματα που θέτω στο #12. Είναι εκεί όχι για να σε παιδέψουν αλλά για να καταλάβεις γιατί είναι ουσιαστικά κάποια βήματα που παραλείπεις συστηματικά στον συλλογισμό σου.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης