τριγωνικομετρικό και λογαριθμικό

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Chatzibill
Δημοσιεύσεις: 14
Εγγραφή: Παρ Οκτ 05, 2018 4:53 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

τριγωνικομετρικό και λογαριθμικό

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Chatzibill » Τρί Δεκ 18, 2018 11:25 pm

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \huge \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}ln(tanx)dx
Προσωπικά με δυσκόλεψε αρκετά και μου πήρε 2 μέρες να το λύσω, μου άρεσε αρκετά η λύση μου. Θα την ανεβάσω αύριο εάν δεν υπάρξει παρόμοια.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3636
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: τριγωνικομετρικό και λογαριθμικό

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Δεκ 19, 2018 12:11 am

Chatzibill έγραψε:
Τρί Δεκ 18, 2018 11:25 pm
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \huge \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}ln(tanx)dx
Είναι διαδοχικά:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{\pi/6}^{\pi/3} \log \tan x \, \mathrm{d}x &\overset{u=\tan x}{=\! =\! =\! =\! =\!}\underbrace{\int_{\sqrt{3}/3}^{\sqrt{3}} \frac{\log u}{1+u^2} \, \mathrm{d}u }_{\mathcal{J}}\\  
 &\overset{u\leftrightarrow 1/u}{=\! =\! =\! =\!} \int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{3}/3} \frac{\log \frac{1}{u}}{1+\left ( \frac{1}{u} \right )^2} \cdot \left ( -\frac{1}{u^2} \right ) \, \mathrm{d}u \\  
 &=-\underbrace{\int_{\sqrt{3}/3}^{\sqrt{3}} \frac{\log u}{1+u^2} \, \mathrm{d}u}_{\mathcal{J}} 
\end{aligned}}
Άρα \mathcal{J} = - \mathcal{J} \Leftrightarrow \mathcal{J} = 0.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3636
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: τριγωνικομετρικό και λογαριθμικό

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Δεκ 19, 2018 12:31 am

Και με Fourier ...


Είναι γνωστό ότι \displaystyle{\log \tan x = \sum_{n \;\; \text{odd}} \frac{\cos 2n x}{n}}. Τότε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{\pi/6}^{\pi/3}\log \tan x \, \mathrm{d}x &= \int_{\pi/6}^{\pi/3} \sum_{n \;\; \text{odd}} \frac{\cos 2n x}{n} \, \mathrm{d}x\\  
 &=\sum_{n \;\; \text{odd}} \frac{1}{n} \int_{\pi/6}^{\pi/3} \cos 2n x \, \mathrm{d}x \\  
 &=\sum_{n\;\; \text{odd}} \frac{1}{n} \left ( \frac{\sin \frac{2\pi n}{3}- \sin \frac{\pi n}{3}}{2n} \right ) \\  
 &= \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin \frac{2\pi \left ( 2n+1 \right )}{3} - \sin \frac{\pi (2n+1)}{3}}{(2n+1)^2}\\  
 &= \frac{1}{2} {\color{red}{\cancelto{0}{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cancelto{0}{\sin 4 \pi n}}{\left ( 2n+1 \right )^2}}}} + \frac{1}{2} {\color{red}{\cancelto{0}{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cancelto{0}{\sin 2 \pi n} }{\left ( 2n+1 \right )^2}}}} \\ 
 &= 0  
\end{aligned}}
διότι \sin 4 \pi n =0 διά κάθε n \in \mathbb{N} και \sin 2 \pi n =0 διά κάθε n \in \mathbb{N}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10831
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: τριγωνικομετρικό και λογαριθμικό

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 19, 2018 12:47 am

Chatzibill έγραψε:
Τρί Δεκ 18, 2018 11:25 pm
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \huge \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}ln(tanx)dx
Πιο απλά, η αλλαγή μεταβλητής \displaystyle{y = \frac {\pi}{2}-x} δίνει

J = - \huge \int_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{6}}\ln (\tan (  \frac {\pi}{2}-y))dy =   \huge \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\ln (\cot y)dy =-\huge \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\ln (\tan y)dy=-J

Άρα J=0.


Chatzibill
Δημοσιεύσεις: 14
Εγγραφή: Παρ Οκτ 05, 2018 4:53 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: τριγωνικομετρικό και λογαριθμικό

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Chatzibill » Τετ Δεκ 19, 2018 2:01 am

\huge f(x)=ln(\tan x) 
 
Ισχύει ότι , x\in (0,\frac{\pi }{2}) , \huge f(x)=ln(tanx)=-ln(\frac{1}{tanx})=-ln(\frac{cosx}{sinx})=-ln(\frac{sin(\frac{\pi }{2}-x)}{cos(\frac{\pi}{2}-x)})=-ln(tan(\frac{\pi }{2}-x))=-f(\frac{\pi }{2}-x) .
Άρα \huge \jmath =\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}f(x)dx=\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}-f(\frac{\pi }{2}-x)dx \overset{\frac{\pi }{2}-x=t, dx=-dt}{\rightarrow} \int_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{6}}-f(t)(-dt)=-\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}f(t)dt=-\imath \Leftrightarrow 2\imath =0\Leftrightarrow \imath =0

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \huge f
. Μπορούμε να ισχυριστούμε ότι η συνάρτηση f έχει κάποιο είδος συμμετρίας ως προς το \huge \frac{\pi }{4} και για αυτό το ολοκλήρωμα ισούται με 0 ;


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3636
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: τριγωνικομετρικό και λογαριθμικό

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Δεκ 19, 2018 11:53 am

Έστω f(x) = \ln \tan x \;\; , \;\; x \in \left[ \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3} \right] . Για κάθε x \in \left[ \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3} \right] είναι \frac{\pi}{2}-x \in \left[ \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3} \right]. Θα δείξουμε ότι η \mathcal{C}_f είναι συμμετρική γύρω απ' το σημείο \mathrm{A} \left( \frac{\pi}{4} , 0 \right).


\displaystyle{\begin{aligned} 
f(x) + f \left ( 2 \cdot \frac{\pi}{4} -x \right ) &= f(x) + f \left ( \frac{\pi}{2} -x \right ) \\  
 &=\ln \tan x + \ln \cot x \\  
 &=\ln \tan x- \ln \tan x \\  
 &=0 \\  
 &= 2 \cdot 0  
\end{aligned}}
και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες