int{(sin(x)-2cos(x))/(1+2sin(2x))}dx

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2778
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

int{(sin(x)-2cos(x))/(1+2sin(2x))}dx

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Δεκ 16, 2018 10:29 am

Να αποδειχθεί ότι

\displaystyle\int{\frac{\sin{x}-2\,\cos{x}}{1+2\,\sin({2x})}\,dx}=\frac{1}{4\sqrt{6}}\,\log\left|{\tfrac{\sqrt{6}+2\,\sin{x}-2\,\cos{x}}{\sqrt{6}+2\,\sin{x}+2\,\cos{x}}}\right|-\frac{3}{4\sqrt{2}}\,\log\left|{\tfrac{\sqrt{2}-2\,\sin{x}-2\,\cos{x}}{\sqrt{2}+2\,\sin{x}-2\,\cos{x}}}\right|+c\,.


Παρατηρήσεις:
1) Δεν έχω επιχειρήσει επίλυση.
2) Ίσως αυτό βοηθά.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2345
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: int{(sin(x)-2cos(x))/(1+2sin(2x))}dx

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Ιαν 19, 2019 10:16 pm

grigkost έγραψε:
Κυρ Δεκ 16, 2018 10:29 am
Να αποδειχθεί ότι

\displaystyle\int{\frac{\sin{x}-2\,\cos{x}}{1+2\,\sin({2x})}\,dx}=\frac{1}{4\sqrt{6}}\,\log\left|{\tfrac{\sqrt{6}+2\,\sin{x}-2\,\cos{x}}{\sqrt{6}+2\,\sin{x}+2\,\cos{x}}}\right|-\frac{3}{4\sqrt{2}}\,\log\left|{\tfrac{\sqrt{2}-2\,\sin{x}-2\,\cos{x}}{\sqrt{2}+2\,\sin{x}-2\,\cos{x}}}\right|+c\,.


Παρατηρήσεις:
1) Δεν έχω επιχειρήσει επίλυση.
2) Ίσως αυτό βοηθά.
Από ότι είδα το ολοκλήρωμα υπολογίζεται θέτοντας

t=\tan \frac{x}{2}

Η παράσταση μέσα στο ολοκλήρωμα θα γίνει

\displaystyle4\frac{t-1+t^{2}}{(1+t^2)^2+8t(1-t^2)}

Επειδή \displaystyle(1+t^2)^2+8t(1-t^2)=(t^2-(4+\sqrt{12})t-1)(t^2-(4-\sqrt{12})t-1)

μπορούμε να σπάσουμε σε απλά κλάσματα και να έχουμε τον υπολογισμό.

Βέβαια στο τελικό αποτέλεσμα θα έχουμε \tan \frac{x}{2} και όχι \sin x,\cos x

που ζητάει ο Γρηγόρης.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες