Σελίδα 1 από 1

Ενδιαφέρον τριγωνομετρικό

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 16, 2018 7:15 am
από Chatzibill
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \large \displaystyle\int \frac{169sinx}{5sinx+12cosx}dx

Re: Ενδιαφέρον τριγωνομετρικό

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 16, 2018 8:43 am
από grigkost
Μια τυπική επίλυση:
\begin{aligned} 
I&=\int\frac{169\sin{x}}{5\sin{x}+12\cos{x}}\,dx\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
 &=\int\frac{169\tan{x}}{5\tan{x}+12}\,dx\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
 &\mathop{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=}\limits^{\begin{subarray}{c} 
	{t\,=\,\tan{x}}   \\\noalign{\vspace{0.05cm}} 
	{\frac{1}{1+t^2}\,dt\,=\,dx}  \\\noalign{\vspace{0.05cm}} 
	\end{subarray}}\,\int\frac{169\,t}{(5t+12)(1+t^2)}\,dt\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=\int\frac{12\,t+5}{1+t^2}\,dt-\int\frac{60}{5t+12}\,dt\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=6\int\frac{2\,t}{1+t^2}\,dt+5\int\frac{1}{1+t^2}\,dt-\int\frac{60}{5t+12}\,dt\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=6\log(1+t^2)+5\arctan{t}-12\log(5t+12)+c\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&\stackrel{t\,=\,\tan{x}}{=\!=\!=\!=\!=}6\log(1+\tan^2{x})+5x-12\log(5\tan{x}+12)+c\,. 
\end{aligned}

Re: Ενδιαφέρον τριγωνομετρικό

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 16, 2018 9:41 am
από Mihalis_Lambrou
Chatzibill έγραψε:
Κυρ Δεκ 16, 2018 7:15 am
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \large \int \frac{169sinx}{5sinx + 12cosx}dx
Ενας ωραίος τρόπος, παλιός και γνωστός για όλα τα ολοκληρώματα της μορφής \displaystyle{\int \dfrac {a\sin x + b \cos x}{c\sin x + d\cos x}\,dx}, είναι ο εξής:

Εκφράζουμε τον αριθμητή ως γραμμικό συνδυασμό του παρονομαστή και της παραγώγου του παρονομαστή. Εδώ

\displaystyle{169 \sin x = A(5\sin x + 12 \cos x) + B(5\cos x -12 \sin x) }.

Συγκρίνοντας συντελεστές είναι 169=5A-12B, \, 0=12A+5B, οπότε A=5, \, B=-12. Άρα

\displaystyle{ \int \dfrac{169\sin x}{5\ sinx + 12 cos\x}\, dx  =  \int \dfrac{ 5(5\sin x + 12 \cos x) -12(5\cos x -12 \sin x)}{5\sin x + 12 \cos x}\,dx  }

Το ολοκλήρωμα είναι της μορφής \displaystyle{\int \dfrac {Af(x)+Bf'(x)}{f(x)}\,dx = \int \left (A+ B\dfrac {f'(x)}{f(x)}\right ) \,dx = Ax + \ln |f(x)| + c}. Εδώ το παραπάνω (επαναλαμβάνω ένα βήμα) είναι

\displaystyle{=  \int \left ( 5 + \dfrac{  -12(5\cos x -12 \sin x)}{5\sin x + 12 \cos x} \right )\, dx  = 5x   -12 \int  \dfrac{(5\sin x + 12 \cos x)'}{5\sin x + 12 \cos x}\,dx     =5x + \ln | 5\sin x + 12 \cos x|+c }}