Ενδιαφέρον τριγωνομετρικό

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Chatzibill
Δημοσιεύσεις: 14
Εγγραφή: Παρ Οκτ 05, 2018 4:53 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Ενδιαφέρον τριγωνομετρικό

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Chatzibill » Κυρ Δεκ 16, 2018 7:15 am

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \large \displaystyle\int \frac{169sinx}{5sinx+12cosx}dx
τελευταία επεξεργασία από Chatzibill σε Κυρ Δεκ 16, 2018 3:10 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2701
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Ενδιαφέρον τριγωνομετρικό

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Δεκ 16, 2018 8:43 am

Μια τυπική επίλυση:
\begin{aligned} 
I&=\int\frac{169\sin{x}}{5\sin{x}+12\cos{x}}\,dx\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
 &=\int\frac{169\tan{x}}{5\tan{x}+12}\,dx\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
 &\mathop{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=}\limits^{\begin{subarray}{c} 
	{t\,=\,\tan{x}}   \\\noalign{\vspace{0.05cm}} 
	{\frac{1}{1+t^2}\,dt\,=\,dx}  \\\noalign{\vspace{0.05cm}} 
	\end{subarray}}\,\int\frac{169\,t}{(5t+12)(1+t^2)}\,dt\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=\int\frac{12\,t+5}{1+t^2}\,dt-\int\frac{60}{5t+12}\,dt\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=6\int\frac{2\,t}{1+t^2}\,dt+5\int\frac{1}{1+t^2}\,dt-\int\frac{60}{5t+12}\,dt\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=6\log(1+t^2)+5\arctan{t}-12\log(5t+12)+c\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&\stackrel{t\,=\,\tan{x}}{=\!=\!=\!=\!=}6\log(1+\tan^2{x})+5x-12\log(5\tan{x}+12)+c\,. 
\end{aligned}


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10831
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ενδιαφέρον τριγωνομετρικό

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 16, 2018 9:41 am

Chatzibill έγραψε:
Κυρ Δεκ 16, 2018 7:15 am
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \large \int \frac{169sinx}{5sinx + 12cosx}dx
Ενας ωραίος τρόπος, παλιός και γνωστός για όλα τα ολοκληρώματα της μορφής \displaystyle{\int \dfrac {a\sin x + b \cos x}{c\sin x + d\cos x}\,dx}, είναι ο εξής:

Εκφράζουμε τον αριθμητή ως γραμμικό συνδυασμό του παρονομαστή και της παραγώγου του παρονομαστή. Εδώ

\displaystyle{169 \sin x = A(5\sin x + 12 \cos x) + B(5\cos x -12 \sin x) }.

Συγκρίνοντας συντελεστές είναι 169=5A-12B, \, 0=12A+5B, οπότε A=5, \, B=-12. Άρα

\displaystyle{ \int \dfrac{169\sin x}{5\ sinx + 12 cos\x}\, dx  =  \int \dfrac{ 5(5\sin x + 12 \cos x) -12(5\cos x -12 \sin x)}{5\sin x + 12 \cos x}\,dx  }

Το ολοκλήρωμα είναι της μορφής \displaystyle{\int \dfrac {Af(x)+Bf'(x)}{f(x)}\,dx = \int \left (A+ B\dfrac {f'(x)}{f(x)}\right ) \,dx = Ax + \ln |f(x)| + c}. Εδώ το παραπάνω (επαναλαμβάνω ένα βήμα) είναι

\displaystyle{=  \int \left ( 5 + \dfrac{  -12(5\cos x -12 \sin x)}{5\sin x + 12 \cos x} \right )\, dx  = 5x   -12 \int  \dfrac{(5\sin x + 12 \cos x)'}{5\sin x + 12 \cos x}\,dx     =5x + \ln | 5\sin x + 12 \cos x|+c }}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες