Όριο ακολουθίας με νιοστή ρίζα
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Όριο ακολουθίας με νιοστή ρίζα
Να αποδειχθεί ότι για κάθε είναι .
(Γνωστή άσκηση αλλά ψάχνω απλούστερη απόδειξη από αυτήν που ξέρω).
(Γνωστή άσκηση αλλά ψάχνω απλούστερη απόδειξη από αυτήν που ξέρω).
Λέξεις Κλειδιά:
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5223
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Όριο ακολουθίας με νιοστή ρίζα
Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Δεκ 15, 2018 9:20 pmΝα αποδειχθεί ότι για κάθε είναι .
(Γνωστή άσκηση αλλά ψάχνω απλούστερη απόδειξη από αυτήν που ξέρω).
Έχουμε διαδοχικά:
Οπότε αν θεωρήσουμε συνάρτηση τότε από DLH έχουμε:
διότι .
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Όριο ακολουθίας με νιοστή ρίζα
Καλό βράδυ κ.Λάμπρου.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Δεκ 15, 2018 9:20 pmΝα αποδειχθεί ότι για κάθε είναι .
(Γνωστή άσκηση αλλά ψάχνω απλούστερη απόδειξη από αυτήν που ξέρω).
Χρησιμοποιώντας το διωνυμικό θεώρημα και για βλέπουμε ότι
που δεν είναι άλλο από το πολυώνυμο Bernstein υπολογισμένο στο
Κατά τα γνωστά
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5223
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Όριο ακολουθίας με νιοστή ρίζα
Μια άλλη λύση:
Είναι
Τότε,
Είναι
Τότε,
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Όριο ακολουθίας με νιοστή ρίζα
Βάζοντας στην θέση του το μπορούμε να υποθέσουμε . Για να μην κουβαλάω τετραγωνικές ρίζες γράφω . Θα κάνω χρήση της απλής και γνωστής Τότε για κάποιο μεταξύ των και και άρα έχουμε
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Κυρ Δεκ 16, 2018 1:09 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5223
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Όριο ακολουθίας με νιοστή ρίζα
Χάνω κάτι ; Είναι και όχι .
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Όριο ακολουθίας με νιοστή ρίζα
Έχεις δίκιο. Τυπογραφική μου αβλεψία.
Ευτυχώς δεν αλλάζει τίποτα γιατί αυτό που θέλουμε είναι ότι η συγκλίνει. Η τιμή του ορίου, εδώ, δεν έχει σημασία. Αυτό που χρειάζεται είναι ότι
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5223
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Όριο ακολουθίας με νιοστή ρίζα
Παρόμοιο όριο είναι το παρακάτω. Το ανακάλυψα χθες λύνοντας αυτή την άσκηση.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Όριο ακολουθίας με νιοστή ρίζα
Αρκεί να δείξουμε ότιMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Δεκ 15, 2018 9:20 pmΝα αποδειχθεί ότι για κάθε είναι .
(Γνωστή άσκηση αλλά ψάχνω απλούστερη απόδειξη από αυτήν που ξέρω).
Δηλαδή
Αλλά είναι
Χρησιμοποιώντας την
και κάνοντας πράξεις παίρνουμε
Αρκεί να δείξουμε ότι
(1)
Αρκεί να το δείξουμε για (αλλιώς παίρνουμε το )
Αν
Τότε
από όπου προκύπτει ότι (1)
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Όριο ακολουθίας με νιοστή ρίζα
Μάλλον απλό αλλά ομολογώ ότι σκεφτόμουν για κάμποση ώρα δύσκολες προσεγγίσεις με λογαρίθμους, l' Hospital και τα τέτοια. Τίποτα από αυτά δεν χρειάζεται. Σχεδόν μονολεκτική απάντηση εδώ:Tolaso J Kos έγραψε: ↑Κυρ Δεκ 16, 2018 9:11 amΠαρόμοιο όριο είναι το παρακάτω. Το ανακάλυψα χθες λύνοντας αυτή την άσκηση.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5223
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Όριο ακολουθίας με νιοστή ρίζα
Μιχάλη συγνώμη,
άλλο ήθελα να γράψω και άλλο έγραψα. Το σωστό είναι .
άλλο ήθελα να γράψω και άλλο έγραψα. Το σωστό είναι .
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Όριο ακολουθίας με νιοστή ρίζα
Ωραία. Ουσιαστικά, αλλά κρυφά, το είδαμε παραπάνω. Οι μέθοδοι προσαρμόζονται και σε αυτή την περίπτωση, αλλά θα κάνω μόνο την μέθοδοTolaso J Kos έγραψε: ↑Κυρ Δεκ 16, 2018 1:27 pmΜιχάλη συγνώμη,
άλλο ήθελα να γράψω και άλλο έγραψα. Το σωστό είναι .
που έγραψα στην δική μου λύση. Συγκεκριμένα θα δούμε ότι
.
Έχουμε για (όμοια το ) με χρήση του που είδαμε παραπάνω, ότι
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Όριο ακολουθίας με νιοστή ρίζα
Και αλλιώς: Μόνο που αλλάζω συμβολισμό για λόγους που θα φανούν παρακάτω.Tolaso J Kos έγραψε: ↑Κυρ Δεκ 16, 2018 1:27 pmάλλο ήθελα να γράψω και άλλο έγραψα. Το σωστό είναι .
Θέλουμε να δείξουμε ότι . Παίρνοντας λογάριθμο ισοδυναμεί με . Θα δείξουμε, ακόμα καλύτερα, ότι . Γράφουμε , οπότε και το ζητούμενο γίνεται
To αναγνωρίζουμε βέβαια ως . Εδώ οπότε αμέσως
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Όριο ακολουθίας με νιοστή ρίζα
Μπορούμε να αντιμετωπίσουμε με ορισμό της παραγώγου και το αρχικό ερώτημα. Ας το δούμε αλλά μετά έχω ένα σχόλιο.
Το ζητούμενο ισοδυναμεί με , και θα δείξουμε γενικότερα
Γράφουμε οπότε το αποδεικτέο παίρνει την μορφή . Εδώ , οπότε , όπως θέλαμε.
Σχόλιο: Η άσκηση είναι ισοδύναμη με την άσκηση 4.14, σελίς 60 στον α' τόμο του Απειροστικού Λογισμού του Νεγραπόντη et al. Σε εκείνο το αρχικό στάδιο του βιβλίου ο αναγνώστης έχει μόνο απλά μέσα στην διάθεσή του. Για παράδειγμα δεν μπορεί να μιλήσει για παραγώγους, l' Hospital και λοιπά.
Από τις αποδείξεις που δόθηκαν παραπάνω όλες χρησιμοποιούν παραγώγους οπότε, για το συγκεκριμένο βιβλίο, ακόμη απαγορεύονται. Η απόδειξη που έδωσα σε προηγούμενο ποστ παραπάνω χρησιμοποιεί παραγώγους στο σημείο που εφαρμόζω ΘΜΤ, αλλά μπορεί να αποφευχθεί με χρήση της ταυτότητας για .
Αυτός είναι και ο λόγος που έβαλα την άσκηση. Να δούμε δηλαδή λύσεις με ή χωρίς παραγώγους. Και οι δύο εκδοχές υπάρχουν.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Όριο ακολουθίας με νιοστή ρίζα
Έχουμε οπότε για κάθε .
Για την ανάποδη ανισότητα θα χρησιμοποιήσω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι . Έχουμε
Από την ανισότητα Bernoulli έχουμε Άρα και
Για την ανάποδη ανισότητα θα χρησιμοποιήσω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι . Έχουμε
Από την ανισότητα Bernoulli έχουμε Άρα και
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5223
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5223
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Όριο ακολουθίας με νιοστή ρίζα
Φαίνεται πως το αποτέλεσμα γενικεύεται. Πιο συγκεκριμένα ισχύει:
όπου τα είναι θετικά.
όπου τα είναι θετικά.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5223
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Όριο ακολουθίας με νιοστή ρίζα
Με ενημερώνει το control ( Λάμπρος Κατσαπάς ) ότι αυτό και άλλα πολλά βρίσκονται στο Generalized Mean στη Wiki.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες