Όριο Συνάρτησης

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Chatzibill
Δημοσιεύσεις: 34
Εγγραφή: Παρ Οκτ 05, 2018 4:53 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Όριο Συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Chatzibill » Σάβ Δεκ 15, 2018 12:49 am

Αν f:(a,+\propto )\rightarrow \mathbb{R} είναι συνάρτηση για την οποία το όριο \lim_{x\rightarrow +\propto }(f(x+1)-f(x))=L να υπολογιστεί το όριο \lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{f(x)}{x} .



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 328
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Όριο Συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Δεκ 15, 2018 12:58 am

Chatzibill έγραψε:
Σάβ Δεκ 15, 2018 12:49 am
Αν f:(a,+\propto )\rightarrow \mathbb{R} είναι συνάρτηση για την οποία το όριο \lim_{x\rightarrow +\propto }(f(x+1)-f(x))=L να υπολογιστεί το όριο \lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{f(x)}{x} .
Δες εδώ: https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... PM#p281560

Για την ιστορία, κάτι που δεν αναφέρετε στο παραπάνω link, το πρόβλημα το είχε μελετήσει ο Cauchy στο Cours d'analyse

δίνοντας την παρακάτω λανθασμένη (γιατί;) απόδειξη.
Συνημμένα
1.jpg
1.jpg (27.81 KiB) Προβλήθηκε 241 φορές
2.jpg
2.jpg (30.64 KiB) Προβλήθηκε 241 φορές
3.jpg
3.jpg (24.93 KiB) Προβλήθηκε 241 φορές


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10966
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο Συνάρτησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 15, 2018 11:03 am

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Σάβ Δεκ 15, 2018 12:58 am
Για την ιστορία, κάτι που δεν αναφέρετε στο παραπάνω link, το πρόβλημα το είχε μελετήσει ο Cauchy στο Cours d'analyse

δίνοντας την παρακάτω λανθασμένη (γιατί;) απόδειξη.
Πολύ ωραία η παραπομπή. Ευχαριστούμε Λάμπρο.

Ένα σφάλμα στην απόδειξη είναι, όπως τουλάχιστον είναι γραμμένη (ακριβέστερα, μεταφρασμένη στα Αγγλικά από τα Γαλλικά), ότι θεωρεί το a σταθερό.

Η γνώμη μου είναι ότι, παρά ταύτα, στον νου του ο Cauchy το εκλαμβάνει ως μεταβλητό, αλλά χρησιμοποιεί το ίδιο γράμμα a σαν να πρόκειται για σταθερή ποσότητα. To γεγονός ότι το εκλαμβάνει ως μεταβλητό τεκμαίρεται από την φράση του "a is always contained between -\epsilon and +\epsilon". To "always" δεν θα είχε νόημα να το γράψει αν θεωρούσε το a σταθερό. Κατά βάθος, λοιπόν, σώζεται.

Εμείς, με πιο σύγχρονη ορολογία, θα έπρεπε στην θέση του a να γράφαμε a(h,n).

Άλλο σφάλμα στην απόδειξη είναι ότι ο συλλογισμός ισχύει μόνο για τα x της μορφής x+n, αλλά και αυτό διορθώνεται εύκολα "κουνώντας λιγάκι" το h.

Καιρός να διαβάσω το περίφημο Course του Cauchy. Για κάποιο λόγο το ανέβαλα συνεχώς. Θεωρείται έργο σταθμός αλλά είναι γνωστό ότι υπάρχουν λαθάκια εδώ και εκεί. Π.χ. στην μελέτη του αυτών που αργότερα ονομάστηκαν "ακολουθίες Caychy" (τις οποίες ο ίδιος ονόμασε "αφ' εαυτού συγκλίνουσες") τα επιχειρήματά του είναι ασαφή/εσφαλμένα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες