Ικανή συνθήκη για tightness

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

v2gls
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Τετ Δεκ 16, 2015 9:39 pm

Ικανή συνθήκη για tightness

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από v2gls » Σάβ Δεκ 08, 2018 5:55 pm

Έστω  (\mu_n)_n ακολουθία μέτρων πιθανότητας στον \mathbb{R}^{d}.
Η (\mu_n)_n είναι tight (δε γνωρίζω την ελληνική ορολογία) αν για κάθε \epsilon >0 υπάρχει K_\epsilon συμπαγές \subseteq \mathbb{R}^{d} τέτοιο ώστε \sup \limits_n \mu_n (K_\epsilon^c) < \epsilon.

Θέλω να δείξω ότι ικανή συνθήκη για να είναι η ακολουθία tight είναι η εξής :
υπάρχει f:\mathbb{R}^{d}  \rightarrow [0, \infty) συνεχής τέτοια ώστε \sup \limits_n \int f d \mu_n < \infty και \lim \limits_{|x|\rightarrow \infty} f(x) = \infty .

Μια πιθανή αρχή θα ήταν χρησιμοποιώντας την ανισότητα markov για την f, δηλαδή  \mu_n (f> \epsilon) \leqslant \frac{1}{\epsilon}  \int \limits_{\{f>\epsilon\}}    f d \mu_n και να θέσουμε K_\epsilon = \{f \leqslant \epsilon\} . Το K_\epsilon είναι συμπαγές ως κλειστό( f είναι συνεχής ) και φραγμένο (λόγο του ορίου της f στο άπειρο) υποσύνολο του \mathbb{R}^{d} . Μετά δε ξέρω πως να συνεχίσω.

(αν και η ερώτηση αφορά μέτρα πιθανότητας προτιμώ να τη βάλω εδώ γιατί η λύση έχει μόνο επιχειρήματα ανάλυσης)
(Δεν είμαι απόλυτα σίγουρος ότι ισχύει το παραπάνω. Αν υπάρχει κάποιο αντιπαράδειγμα είναι ευπρόσδεκτο )



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3307
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ικανή συνθήκη για tightness

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Δεκ 08, 2018 11:09 pm

v2gls έγραψε:
Σάβ Δεκ 08, 2018 5:55 pm
Έστω  (\mu_n)_n ακολουθία μέτρων πιθανότητας στον \mathbb{R}^{d}.
Η (\mu_n)_n είναι tight (δε γνωρίζω την ελληνική ορολογία) αν για κάθε \epsilon >0 υπάρχει K_\epsilon συμπαγές \subseteq \mathbb{R}^{d} τέτοιο ώστε \sup \limits_n \mu_n (K_\epsilon^c) < \epsilon.

Θέλω να δείξω ότι ικανή συνθήκη για να είναι η ακολουθία tight είναι η εξής :
υπάρχει f:\mathbb{R}^{d}  \rightarrow [0, \infty) συνεχής τέτοια ώστε \sup \limits_n \int f d \mu_n < \infty και \lim \limits_{|x|\rightarrow \infty} f(x) = \infty .

Μια πιθανή αρχή θα ήταν χρησιμοποιώντας την ανισότητα markov για την f, δηλαδή  \mu_n (f> \epsilon) \leqslant \frac{1}{\epsilon}  \int \limits_{\{f>\epsilon\}}    f d \mu_n και να θέσουμε K_\epsilon = \{f \leqslant \epsilon\} . Το K_\epsilon είναι συμπαγές ως κλειστό( f είναι συνεχής ) και φραγμένο (λόγο του ορίου της f στο άπειρο) υποσύνολο του \mathbb{R}^{d} . Μετά δε ξέρω πως να συνεχίσω.

(αν και η ερώτηση αφορά μέτρα πιθανότητας προτιμώ να τη βάλω εδώ γιατί η λύση έχει μόνο επιχειρήματα ανάλυσης)
(Δεν είμαι απόλυτα σίγουρος ότι ισχύει το παραπάνω. Αν υπάρχει κάποιο αντιπαράδειγμα είναι ευπρόσδεκτο )
Είσαι δίπλα από την λύση.
Το αποτέλεσμα ισχύει.
Οι ιδέες σου είναι σωστές.
Ενα τακ είναι.
Δεν θελω να το κάνω εγω.


v2gls
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Τετ Δεκ 16, 2015 9:39 pm

Re: Ικανή συνθήκη για tightness

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από v2gls » Κυρ Δεκ 09, 2018 2:15 pm

θέτουμε  M = \sup \int f d \mu_n < \infty και για σταθερό \epsilon >0 θέτουμεK_\epsilon = \{f \leqslant \frac{2M}{\epsilon} \} ?


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3307
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ικανή συνθήκη για tightness

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Δεκ 09, 2018 4:57 pm

v2gls έγραψε:
Κυρ Δεκ 09, 2018 2:15 pm
θέτουμε  M = \sup \int f d \mu_n < \infty και για σταθερό \epsilon >0 θέτουμεK_\epsilon = \{f \leqslant \frac{2M}{\epsilon} \} ?
Ακριβώς.
Αν θες γράψε πλήρως την λύση.
Δεν είναι τίποτα.
Αυτό και η ανισότητα στο προηγούμενο ποστ είναι.


v2gls
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Τετ Δεκ 16, 2015 9:39 pm

Re: Ικανή συνθήκη για tightness

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από v2gls » Τρί Δεκ 11, 2018 8:04 pm

θέτουμε M=\sup \limits_n \int f d \mu_n .
Έστω \epsilon > 0.
Η ανισότητα markov δίνει  \mu_n (f > \frac{2M}{\epsilon} )   \frac{2M}{\epsilon} < \int \limits_{ \{f > \frac{2M}{\epsilon} \}} f d \mu_n \leqslant M.
Οπότε \sup \mu_n (f > \frac{2M}{\epsilon} ) \leqslant \frac{\epsilon}{2} , όπου θέτοντας K_{\epsilon} = \{f \leqslant  \frac{2M}{\epsilon} \} (συμπαγές ως κλειστό και φραγμένο υποσύνολο του \mathbb{R}^{d} ) παίρνουμε τελικά ότι \sup \limits_n \mu_n(K_{\epsilon}^c) < \epsilon .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης