Παράξενη σειρά με ακέραιο μέρος

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4394
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Παράξενη σειρά με ακέραιο μέρος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Νοέμ 29, 2018 7:03 am

Ας δηλώσουμε με \left \lfloor \cdot \right \rfloor το ακέραιο μέρος. Αποδείξατε ότι για 0 \leq x < 1 ισχύει:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\lfloor 2^n x\rfloor}}{2^n}=1-2x}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8520
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Παράξενη σειρά με ακέραιο μέρος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Νοέμ 29, 2018 10:09 am

Γράφουμε x = 0.a_1a_2a_3\cdots στο δυαδικό σύστημα. Τότε έχουμε \lfloor 2^n x\rfloor = a_n. Άρα

\displaystyle (-1)^{\lfloor 2^n x \rfloor} = \begin{cases} -1 & \text{\gr αν } a_n=1 \\ 1 & \text{\gr αν } a_n = 0 \end{cases}

Δηλαδή (-1)^{\lfloor 2^n x \rfloor} = 1 - 2a_n. Συνεπώς:

\displaystyle  \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{\lfloor 2^n x \rfloor}}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-2a_n}{2^n} = 1-2x


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12500
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παράξενη σειρά με ακέραιο μέρος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Νοέμ 29, 2018 10:11 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Νοέμ 29, 2018 7:03 am
Ας δηλώσουμε με \left \lfloor \cdot \right \rfloor το ακέραιο μέρος. Αποδείξατε ότι για 0 \leq x < 1 ισχύει:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\lfloor 2^n x\rfloor}}{2^n}=1-2x}
Αν το δυαδικό ανάπτυγμα του x είναι \displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}\frac {a_k}{2^k} τότε

\displaystyle{2^n x = 2^{n-1} a_1+ .... + 2a_{n-1}+a_n + \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac {a_k}{2^k} και επειδή το άθροισμα που εμφανίζεται είναι μικρότερο της μονάδας, έχουμε  {\lfloor 2^n x\rfloor}= 2^{n-1} a_1+ .... + 2a_{n-1}+a_n (ίσον άρτιος συν a_n) οπότε

(-1)^{\lfloor 2^n x\rfloor}}= (-1)^{a_n} και το αριστερό άθροισμα είναι \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{a_n}}{2^n}

Επίσης

 \displaystyle{1-2x = \sum_{k=1}^{\infty}\frac {1}{2^k} -2 {\sum_{k=1}^{\infty}\frac {a_k}{2^k} ={\sum_{k=1}^{\infty}\frac {1-2a_k}{2^k}

Παρατηρούμε τώρα ότι οι συντελεστές στα δύο αθροίσματα είναι ίσοι. Συγκεκριμένα αν a_k=0 τότε (-1)^{a_k} =1=1-2a_k και αν a_k=1 τότε (-1)^{a_k} =-1=1-2a_k.

Άρα τα αθροίσματα είναι όρο προς όρο ίσα.

Edit: Με πρόλαβαν, και με ίδια λύση. Το αφήνω για τον κόπο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης