Ολοκλήρωμα και Σειρά

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Για

να δείξετε ότι ισχύει
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty }\left (\frac{x}{n} \right )^n=\int_{0}^{x}\left (\frac{x}{y} \right )^y dy}$ .

#2

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 20, 2018 2:53 pm
Για να δείξετε ότι ισχύει
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty }\left (\frac{x}{n} \right )^n=\int_{0}^{x}\left (\frac{x}{y} \right )^y dy}$ .

Αρχίζοντας από το δεξί μέλος, η αντικατάσταση y=vx

δίνει ότι το ολοκλήρωμα ισούται

$\displaystyle{x\int _0^1\left (\frac {1}{v}\right ) ^{vx} \, dv= x \int _0^1v^{-vx} \, dv= x \int _0^1e^{-vx\ln v} \, dv= x \int _0^1\sum _{n=0}^{\infty } \frac {(-1)^nx^n}{n!}v^n(\ln v)^n \, dv= \sum _{n=0}^{\infty } \frac {(-1)^nx^{n+1}}{n!}\int _0^1 v^n(\ln v)^n \, dv }$

Tώρα το δεξί ολοκλήρωμα είναι γνώριμο. Βγαίνει με ολοκλήρωση κατά παράγοντες μέσω του

$\displaystyle{ \int _0^1v^n(\ln v)^m dv = - \frac {m}{n+1} \int _0^1v^n(\ln v)^{m-1} dv}$ και άρα, αναδρομικά,

$\displaystyle{ \int _0^1v^n(\ln v)^m dv = (-1)^m \frac {m!}{(n+1)^{m+1}}}$ . Οπότε $\displaystyle{ \int _0^1v^n(\ln v)^n dv = (-1)^n \frac {n!}{(n+1)^{n+1}}}$ . Και λοιπά.

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 20, 2018 5:55 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 20, 2018 2:53 pm
Για να δείξετε ότι ισχύει
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty }\left (\frac{x}{n} \right )^n=\int_{0}^{x}\left (\frac{x}{y} \right )^y dy}$ .
Αρχίζοντας από το δεξί μέλος, η αντικατάσταση δίνει ότι το ολοκλήρωμα ισούται

$\displaystyle{x\int _0^1\left (\frac {1}{v}\right ) ^{vx} \, dv= x \int _0^1v^{-vx} \, dv= x \int _0^1e^{-vx\ln v} \, dv= x \int _0^1\sum _{n=0}^{\infty } \frac {(-1)^nx^n}{n!}v^n(\ln v)^n \, dv= \sum _{n=0}^{\infty } \frac {(-1)^nx^{n+1}}{n!}\int _0^1 v^n(\ln v)^n \, dv }$

Tώρα το δεξί ολοκλήρωμα είναι γνώριμο. Βγαίνει με ολοκλήρωση κατά παράγοντες μέσω του

$\displaystyle{ \int _0^1v^n(\ln v)^m dv = - \frac {m}{n+1} \int _0^1v^n(\ln v)^{m-1} dv}$ και άρα, αναδρομικά,

$\displaystyle{ \int _0^1v^n(\ln v)^m dv = (-1)^m \frac {m!}{(n+1)^{m+1}}}$ . Οπότε $\displaystyle{ \int _0^1v^n(\ln v)^n dv = (-1)^n \frac {n!}{(n+1)^{n+1}}}$ . Και λοιπά.

Ευχαριστώ κ. Λάμπρου.

Γράφουμε $\int_{0}^{x}\left (\frac{x}{y} \right )^y dy= \int_{0}^{x}e^{y\ln\frac{x}{y}}dy=\int_{0}^{x}1+y\ln\frac{x}{y}+\frac{y^2\ln^2\frac{x}{y}}{2!}+...dy=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}\int_{0}^{x}y^n\ln^n\frac{x}{y}dy .$

To $\int_{0}^{x}y^n\ln^n\frac{x}{y}dy$ μπορεί να υπολογιστεί αναδρομικά. Θέτουμε $I(a,b)=\int_{0}^{x}y^a\ln^b\frac{x}{y}dy.$

Είναι $I(n,n)=\int_{0}^{x}y^n\ln^n\frac{x}{y}dy=\int_{0}^{x} {\left (\frac{y^{n+1}}{n+1} \right )}' \ln^n\frac{x}{y}dy= ....=\frac{n}{n+1}\int_{0}^{x}y^n\ln^{n-1}\frac{x}{y}dy= \frac{n}{n+1}I(n,n-1).$

Άρα $I(n,n)=\frac{n}{n+1}I(n,n-1)=\frac{n(n-1)}{(n+1)^2}I(n,n-2)=...= \frac{n!}{(n+1)^{n-1}}I(n,1)$ .

Eύκολα δείχνουμε ότι $I(n,1)=\frac{x^{n+1}}{(n+1)^2}.$ Άρα $I(n,n)= \frac{n!x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}$

και τελικά $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}\int_{0}^{x}y^n\ln^n\frac{x}{y}dy= \sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}\frac{n!x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}= \sum_{n=1}^{\infty }\left (\frac{x}{n} \right )^n$

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 20, 2018 5:55 pm
Tώρα το δεξί ολοκλήρωμα είναι γνώριμο. Βγαίνει με ολοκλήρωση κατά παράγοντες μέσω του

$\displaystyle{ \int _0^1v^n(\ln v)^m dv = - \frac {m}{n+1} \int _0^1v^n(\ln v)^{m-1} dv}$ και άρα, αναδρομικά,

$\displaystyle{ \int _0^1v^n(\ln v)^m dv = (-1)^m \frac {m!}{(n+1)^{m+1}}}$ .

.
Θυμήθηκα και τον εξής ωραίο (και γνωστό) τρόπο να βγάζεις το παραπάνω ολοκλήρωμα $\displaystyle{ \int _0^1v^n(\ln v)^m dv = (-1)^m \frac {m!}{(n+1)^{m+1}}}$ . Είναι σχεδόν μονολεκτικός και εξηγεί καλύτερα το "τι τρέχει", άσε που ισχύει γενικότερα για όχι κατ' ανάγκη ακέραιο

.

Έχουμε $\displaystyle{ \int _0^1x^a\, dx = \frac {1}{a+1}}$ . Παραγωγίζοντας ως προς

με Leibnitz μέσα και έξω από το ολοκλήρωμα, έχουμε

$\displaystyle{\int _0^1x^a \ln x \, dx = \int _0^1\frac {\partial }{\partial a} x^a\, dx = \frac {d}{da}\int _0^1x^a\, dx =\frac {d}{da} \frac {1}{a+1}= -\frac {1}{(a+1)^2}}$

Ξαναπαραγωγίζοντας

$\displaystyle{\int _0^1x^a (\ln x )^2\, dx = (-1)^2\frac {2}{(a+1)^3}}$

και πάει λέγοντας.

Ολοκλήρωμα και Σειρά

Ολοκλήρωμα και Σειρά

Re: Ολοκλήρωμα και Σειρά

Re: Ολοκλήρωμα και Σειρά

Re: Ολοκλήρωμα και Σειρά

Μέλη σε σύνδεση