Σπάσιμο μετρήσιμης

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2190
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Σπάσιμο μετρήσιμης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Νοέμ 20, 2018 10:01 am

Εστω f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}
μετρήσιμη

Να δειχθεί ότι τα εξής είναι ισοδύναμα

1)Για κάθε μετρήσιμο E\subseteq \mathbb{R} με \left | E \right |< +\infty

είναι \int _{E}\left | f \right |< +\infty

2)Υπάρχουν h,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} μετρήσιμες ώστε

f=h+g

η h είναι φραγμένη και

\int _{\mathbb{R}}\left | g \right |< +\infty


Σημείωση.
Τα ολοκληρώματα και τα μέτρα είναι Lebesgue



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2190
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σπάσιμο μετρήσιμης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Δεκ 10, 2018 9:45 pm

Επαναφορά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2190
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σπάσιμο μετρήσιμης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Ιαν 29, 2019 2:17 am

Θα γράψω μια περιληπτική λύση.
Αν θέλει κάποιος την συμπληρώνει.

Η κατεύθυνση \Leftarrow
είναι προφανής.

Για την \Rightarrow
Θεωρούμε τα σύνολα A_{n}=\left \{ x:|f(x)|> 2^{n} \right \}

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι κάποιο από αυτά έχει πεπερασμένο μέτρο
γιατί αν είχαν όλα άπειρο μέτρο τότε μπορούμε να φτιάξουμε ένα σύνολο
πεπερασμένου μέτρου που πάνω σε αυτό η συνάρτηση έχει άπειρο ολοκλήρωμα.
(είναι το ουσιαστικό που παραλείπω)

Εστω ότι αυτό είναι το A_{k}
Θέτουμε
g(x)=f(x),x\in A_{k } ,and ,g(x)=0,x\notin A_{k }
και
h(x)=0,x\in A_{k } ,and ,h(x)=f(x),x\notin A_{k }


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες