mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 18, 2018 8:00 pm**

Αν $a>\max\left\lbrace0,\left|b\right|,\left|c\right|\right\rbrace$ , να εξετάσετε το όριο της ακολουθίας $x_n=\sqrt[n]{a^n+b^n+c^n}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 18, 2018 8:02 pm**

Προφανώς ο $\displaystyle a$ είναι θετικός.
Αν οι $\displaystyle b,c$ είναι μη αρνητικοί (οπότε $\displaystyle \left|b\right|=b$ και $\displaystyle \left|c\right|=c$ ), τότε θα είναι $\displaystyle a^n\leqslant a^n+b^n+c^n\leqslant 3a^n\Leftrightarrow a\leqslant \sqrt[n]{a^n+b^n+c^n}\leqslant 3^{\frac{1}{n}}a$ , οπότε από το κριτήριο των ισοσυγκλινουσών προκύπτει $\displaystyle \lim x_n=a$ .
Αν τουλάχιστον ένας εκ των $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ είναι αρνητικός και το $\displaystyle n$ άρτιος (οπότε $\displaystyle x^n=\left|x\right|^n$ ), τότε πάλι προκύπτει $\displaystyle \lim x_n=a$
Αν τουλάχιστον ένας εκ των $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ είναι αρνητικός και το $\displaystyle n$ περιττός, τι γίνεται; Για παράδειγμα, αν $\displaystyle b^n+c^n=0\Leftrightarrow a^n+b^n+c^n=a^n$ , τότε είναι $\displaystyle \lim x_n=a$ , ενώ αν $\displaystyle a^n+b^n+c^n=0$ , τότε είναι $\displaystyle \lim x_n=0$ . Μπορούμε να βγάλουμε κάποιο γενικό συμπέρασμα;

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 18, 2018 8:22 pm**

nikos_el έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 18, 2018 8:02 pm
Προφανώς ο $\displaystyle a$ είναι θετικός.
Αν οι $\displaystyle b,c$ είναι μη αρνητικοί (οπότε $\displaystyle \left|b\right|=b$ και $\displaystyle \left|c\right|=c$ ), τότε θα είναι $\displaystyle a^n\leqslant a^n+b^n+c^n\leqslant 3a^n\Leftrightarrow a\leqslant \sqrt[n]{a^n+b^n+c^n}\leqslant 3^{\frac{1}{n}}a$ , οπότε από το κριτήριο των ισοσυγκλινουσών προκύπτει $\displaystyle \lim x_n=a$ .
Αν τουλάχιστον ένας εκ των $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ είναι αρνητικός και το $\displaystyle n$ άρτιος (οπότε $\displaystyle x^n=\left|x\right|^n$ ), τότε πάλι προκύπτει $\displaystyle \lim x_n=a$
Αν τουλάχιστον ένας εκ των $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ είναι αρνητικός και το $\displaystyle n$ περιττός, τι γίνεται; Για παράδειγμα, αν $\displaystyle b^n+c^n=0\Leftrightarrow a^n+b^n+c^n=a^n$ , τότε είναι $\displaystyle \lim x_n=a$ , ενώ αν $\displaystyle a^n+b^n+c^n=0$ , τότε είναι $\displaystyle \lim x_n=0$ . Μπορούμε να βγάλουμε κάποιο γενικό συμπέρασμα;

Ετσι όπως έχει δοθεί η εκφώνηση η ακολουθία μπορεί να μην ορίζεται για κάποια

.

Ορίζεται όμως πάντα για $n\geq n_{0}$

Αυτό συμβαίνει γιατί επειδή

$(\frac{b}{a})^{n}+(\frac{c}{a})^{n}\rightarrow 0$

έχουμε ότι για

$n\geq n_{0}$ είναι $(\frac{b}{a})^{n}+(\frac{c}{a})^{n}>-1$

οπότε $a^{n}+ b^{n}+c^{n}>0$

mathematica.gr

Όριο ακολουθίας με παραμέτρους

Όριο ακολουθίας με παραμέτρους

Re: Όριο ακολουθίας με παραμέτρους

Re: Όριο ακολουθίας με παραμέτρους