Ολοκλήρωμα με πολυγάμμα

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\Gamma$ η συνάρτηση Γάμμα και $\psi^{(0)}$ η συνάρτηση διγάμμα. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \bigintsss_{0}^{2}\frac{\Gamma^2\left ( \frac{1}{t} \right )}{2t^3 \Gamma \left ( \frac{2}{t} \right )} \bigg[ t + 2\psi^{(0)} \left ( \frac{1}{t} \right) - 2 \psi^{(0)} \left ( \frac{2}{t} \right ) \bigg] \, {\rm d}t}$

Tolaso J Kos · #2

Έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{2}\frac{\Gamma^2\left ( \frac{1}{t} \right )}{2t^3 \Gamma \left ( \frac{2}{t} \right )} \bigg[ t + 2\psi\left ( \frac{1}{t} \right) - 2 \psi \left ( \frac{2}{t} \right ) \bigg]\, {\rm d}t & =\int_{0}^{2} \frac{\Gamma^2\left ( \frac{1}{t} \right )}{t^3 \Gamma\left ( \frac{2}{t} \right )} \bigg[ \frac{t}{2}+ \psi\left ( \frac{1}{t} \right ) - \psi\left ( \frac{2}{t} \right ) \bigg] \, {\rm d}t \\ &\!\!\overset{u=2/t}{=\! =\! =\!} \frac{1}{4}\int_{1}^{\infty} \frac{\Gamma \left ( \frac{u}{2} \right ) \Gamma \left ( \frac{u}{2} \right )}{\Gamma \left ( \frac{u}{2}+ \frac{u}{2} \right )} \bigg[ 1+ u \psi \left ( \frac{u}{2} \right ) - u \psi (u) \bigg] \, {\rm d}u\\ &= \frac{1}{4}\int_{1}^{\infty} {\rm B}\left ( \frac{u}{2}, \frac{u}{2} \right ) \left ( 1+ u \psi \left ( \frac{u}{2} \right )- u \psi (u) \right ) \, {\rm d}u\\ &=\frac{1}{4}\int_{1}^{\infty} {\rm B}\left ( \frac{u}{2}, \frac{u}{2} \right ) \bigg( 1+ u \left ( \psi \left ( \frac{u}{2} \right ) - \psi\left ( \frac{u}{2}+ \frac{u}{2} \right ) \right ) \bigg )\, {\rm d}u \\ &=\frac{1}{4}\int_{1}^{\infty } \bigg[{\rm B} \left ( \frac{u}{2}, \frac{u}{2} \right ) + u {\rm B}\left ( \frac{u}{2}, \frac{u}{2} \right ) \left ( \psi\left ( \frac{u}{2} \right ) - \psi \left ( \frac{u}{2}+ \frac{u}{2} \right ) \right )\bigg]\, {\rm d}u \\ &=-\frac{1}{4}\int_{1}^{\infty} \left ( u {\rm B}\left ( \frac{u}{2}, \frac{u}{2} \right ) \right )'\, {\rm d}u \\ &= \frac{\pi}{4} \end{aligned}}$

Ολοκλήρωμα με πολυγάμμα

Ολοκλήρωμα με πολυγάμμα

Re: Ολοκλήρωμα με πολυγάμμα

Μέλη σε σύνδεση