Όριο

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3710
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Νοέμ 17, 2018 8:02 pm

Έστω \gamma η σταθερά των Euler - Mascheroni και \mathcal{H}_n ο n -οστός αρμονικός όρος. Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{n\rightarrow +\infty} \left [ e^{\mathcal{H}_n-\gamma} - n \right ]}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10951
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Νοέμ 17, 2018 10:29 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Νοέμ 17, 2018 8:02 pm
Έστω \gamma η σταθερά των Euler - Mascheroni και \mathcal{H}_n ο n -οστός αρμονικός όρος. Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{n\rightarrow +\infty} \left [ e^{\mathcal{H}_n-\gamma} - n \right ]}
Απάντηση: \dfrac {1}{2}.

Είναι γνωστό ότι \displaystyle{ \mathcal{H}_n= \ln n + \gamma  + \frac {1}{2n} +O(n^{-2})}.

Bλέπε π.χ. εδώ όπου υπάρχει και ισχυρότερη σχέση.

Άρα

\displaystyle{  e^{\mathcal{H}_n-\gamma} - n =  e^{\ln n   + \frac {1}{2n} +O(n^{-2}) } - n= n\left  ( e^{\frac {1}{2n} +O(n^{-2}) } -1\right )= }

\displaystyle{=n\left ( 1+ \frac {1}{2n} +O(n^{-2}) -1\right ) = \frac {1}{2} +O(n^{-1})\to \frac {1}{2}}


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3710
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Όριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Δεκ 19, 2018 12:27 pm

Παρόμοια λύση....


Επειδή \displaystyle{ \gamma = \sum_{n=1}^{\infty} \left [ \frac{1}{n} - \ln \left ( 1 + \frac{1}{n} \right ) \right ]} είναι

\displaystyle{\begin{aligned}  
\mathcal{H}_n-\gamma&=\sum_{k=1}^n\ln\left(1+\frac{1}{k} \right)+ \\ & \; \quad \quad \quad +\sum_{k=n+1}^{\infty}\left[\ln\left(1+\frac{1}{k} \right)-\frac{1}{k} \right]\\  
&=\ln(n+1)+\sum_{k=n+1}^{\infty}\left[\ln\left(1+\frac{1}{k} \right)-\frac{1}{k} \right]\\  
&=\ln(n+1)-\frac{1}{2n}+\mathcal{O} \left( \frac{1}{n^2} \right) 
\end{aligned}}
Οπότε,

\displaystyle{\begin{aligned} e^{\mathcal{H}_n-\gamma}-n&=e^{\ln(n+1)-\frac{1}{2n}+\mathcal{O}(n^{-2})}-n\\  
&=(n+1)e^{-\frac{1}{2n}+\mathcal{O}(n^{-2})}-n\\ 
 &=(n+1)\left(1-\frac{1}{2n}+\mathcal{O} \left( \frac{1}{n^2} \right) \right)-n\\  
&=n+\frac{1}{2}+\mathcal{O} \left( \frac{1}{n} \right) -n  \\ 
&=\frac{1}{2} + \mathcal{O} \left( \frac{1}{n} \right) 
\end{aligned}}
Το ζητούμενο έπεται.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες