Όριο

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4394
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Νοέμ 17, 2018 1:49 am

Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow +\infty}\left(\sum_{n=1}^\infty\left(\frac xn\right)^n\right)^{1/x}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 726
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Νοέμ 17, 2018 2:03 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Νοέμ 17, 2018 1:49 am
Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow +\infty}\left(\sum_{n=1}^\infty\left(\frac xn\right)^n\right)^{1/x}}
e^{\frac{1}{e}}. Η λύση αύριο.

1η ΛΥΣΗ

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty }\left (\frac{x}{n} \right )^n=\int_{0}^{x}\left (\frac{x}{y} \right )^y dy=x \int_{0}^{1}\left \left ((\frac{1}{u} )^u \right )^x du} (στην τελευταία ισότητα έθεσα u=\frac{y}{x}.)

Άρα

\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow +\infty }\left (\sum_{n=1}^{\infty }\left (\frac{x}{n} \right )^n \right )^\frac{1}{x} = \lim_{x\rightarrow +\infty } \left (x \int_{0}^{1}\left \left ((\frac{1}{u} )^u \right )^x du \right )^\frac{1}{x} } \lim_{x\rightarrow +\infty }x^\frac{1}{x} \lim_{x\rightarrow +\infty } \left (\int_{0}^{1} \left ((\frac{1}{u} )^u \right )^xdu \right )^\frac{1}{x}

=1\cdot \underset{u\in (0,1]}{\sup((\frac{1}{u} )^u)  }=e^\frac{1}{e}

2η ΛΥΣΗ

Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη στην \displaystyle{ \left (1+\frac{1}{k} \right )^k<e<\left (1+\frac{1}{k} \right ) ^{k+1},k=1,2,...,n}

παίρνουμε την \displaystyle{(n-1)!e^{n-1}<n^n<n!e^n },n>1.

Άρα για x>0 είναι \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty } }\left (\frac{x}{n} \right )^n>\sum_{n=1}^{\infty } \frac{x^n}{n!e^n}=\sum_{n=1}^{\infty } \frac{(x/e)^n}{n!}=(e^{x/e}-1)

και \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty } }\left (\frac{x}{n} \right )^n<\sum_{n=1}^{\infty } \frac{x^n}{(n-1)!e^{n-1}}=x\sum_{n=1}^{\infty } \frac{(x/e)^{n-1}}{(n-1)!}=xe^{x/e}.

Επίσης

\lim_{x\rightarrow +\infty }\left (xe^{x/e} \right )^{1/x}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left (e^{x/e}-1 \right )^{1/x}=e^{1/e}.

Άρα από ΚΠ \displaystyle{ \lim_{x\rightarrow +\infty }\left (\sum_{n=1}^{\infty }\left (\frac{x}{n} \right )^n \right )^\frac{1}{x} =e^{1/e} }


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3234
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Όριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Νοέμ 18, 2018 7:57 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Σάβ Νοέμ 17, 2018 2:03 am
Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Νοέμ 17, 2018 1:49 am
Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow +\infty}\left(\sum_{n=1}^\infty\left(\frac xn\right)^n\right)^{1/x}}
e^{\frac{1}{e}}. Η λύση αύριο.

1η ΛΥΣΗ

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty }\left (\frac{x}{n} \right )^n=\int_{0}^{x}\left (\frac{x}{y} \right )^y dy=x \int_{0}^{1}\left \left ((\frac{1}{u} )^u \right )^x du} (στην τελευταία ισότητα έθεσα u=\frac{y}{x}.)

Άρα

\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow +\infty }\left (\sum_{n=1}^{\infty }\left (\frac{x}{n} \right )^n \right )^\frac{1}{x} = \lim_{x\rightarrow +\infty } \left (x \int_{0}^{1}\left \left ((\frac{1}{u} )^u \right )^x du \right )^\frac{1}{x} } \lim_{x\rightarrow +\infty }x^\frac{1}{x} \lim_{x\rightarrow +\infty } \left (\int_{0}^{1} \left ((\frac{1}{u} )^u \right )^xdu \right )^\frac{1}{x}

=1\cdot \underset{u\in (0,1]}{\sup((\frac{1}{u} )^u)  }=e^\frac{1}{e}

2η ΛΥΣΗ

Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη στην \displaystyle{ \left (1+\frac{1}{k} \right )^k<e<\left (1+\frac{1}{k} \right ) ^{k+1},k=1,2,...,n}

παίρνουμε την \displaystyle{(n-1)!e^{n-1}<n^n<n!e^n },n>1.

Άρα για x>0 είναι \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty } }\left (\frac{x}{n} \right )^n>\sum_{n=1}^{\infty } \frac{x^n}{n!e^n}=\sum_{n=1}^{\infty } \frac{(x/e)^n}{n!}=(e^{x/e}-1)

και \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty } }\left (\frac{x}{n} \right )^n<\sum_{n=1}^{\infty } \frac{x^n}{(n-1)!e^{n-1}}=x\sum_{n=1}^{\infty } \frac{(x/e)^{n-1}}{(n-1)!}=xe^{x/e}.

Επίσης

\lim_{x\rightarrow +\infty }\left (xe^{x/e} \right )^{1/x}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left (e^{x/e}-1 \right )^{1/x}=e^{1/e}.

Άρα από ΚΠ \displaystyle{ \lim_{x\rightarrow +\infty }\left (\sum_{n=1}^{\infty }\left (\frac{x}{n} \right )^n \right )^\frac{1}{x} =e^{1/e} }
Την σχέση

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty }\left (\frac{x}{n} \right )^n=\int_{0}^{x}\left (\frac{x}{y} \right )^y dy

δεν την βλέπω

Είμαι περίεργος για το πώς προκύπτει.

Αντίθετα την

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty }\left (\frac{x}{n} \right )^n=x \int_{0}^{1}\left \left ((\frac{1}{u} )^u \right )^x du}

βλέπω πως μπορεί να προκύψει.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 726
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Όριο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τρί Νοέμ 20, 2018 2:44 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Νοέμ 18, 2018 7:57 pm

Την σχέση

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty }\left (\frac{x}{n} \right )^n=\int_{0}^{x}\left (\frac{x}{y} \right )^y dy

δεν την βλέπω

Είμαι περίεργος για το πώς προκύπτει.
Θα απαντήσω σε ξεχωριστή ανάρτηση. Έχει ενδιαφέρον νομίζω. Παρεμπιπτόντως η \left(\frac{x}{y} \right )^y

συμπεριφέρεται για μεγάλα x ως gaussian με συγκέντρωση τιμών γύρω από τη θέση μεγίστου \frac{x}{e}

και πρακτικά 0 αλλού. Γι'αυτό και το όριο προκύπτει e^\frac{1}{e}, όσο θα βρίσκαμε δηλαδή αν απλά

θεωρούσαμε στο ολοκλήρωμα αντί της \left(\frac{x}{y} \right )^y το max της e^\frac{x}{e}.

Τώρα το πως το είδα. Αν παρατηρήσουμε τη σειρά προσεκτικά βλέπουμε ότι για n=1 η βάση της δύναμης είναι

x ενώ για n\rightarrow \infty η βάση πάει στο 0. Επίσης για n< [x] η βάση

είναι >1 οπότε αυξανουμένου του n η \left (\frac{x}{n} \right )^n αυξάνεται ενώ για

n> [x] μειώνεται αφού η βάση είναι <1. Με αυτό το σκεπτικό είναι εμφανές νομίζω ότι υπέθεσα ότι η

\left (\frac{x}{n} \right )^n συμπεριφέρεται σαν την \left(\frac{x}{y} \right )^y και η σειρά της πρώτης

σαν το ολοκλήρωμα της δεύτερης από 0 έως x.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3234
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Όριο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Νοέμ 20, 2018 8:44 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Τρί Νοέμ 20, 2018 2:44 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Νοέμ 18, 2018 7:57 pm

Την σχέση

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty }\left (\frac{x}{n} \right )^n=\int_{0}^{x}\left (\frac{x}{y} \right )^y dy

δεν την βλέπω

Είμαι περίεργος για το πώς προκύπτει.
Θα απαντήσω σε ξεχωριστή ανάρτηση. Έχει ενδιαφέρον νομίζω. Παρεμπιπτόντως η \left(\frac{x}{y} \right )^y

συμπεριφέρεται για μεγάλα x ως gaussian με συγκέντρωση τιμών γύρω από τη θέση μεγίστου \frac{x}{e}

και πρακτικά 0 αλλού. Γι'αυτό και το όριο προκύπτει e^\frac{1}{e}, όσο θα βρίσκαμε δηλαδή αν απλά

θεωρούσαμε στο ολοκλήρωμα αντί της \left(\frac{x}{y} \right )^y το max της e^\frac{x}{e}.

Τώρα το πως το είδα. Αν παρατηρήσουμε τη σειρά προσεκτικά βλέπουμε ότι για n=1 η βάση της δύναμης είναι

x ενώ για n\rightarrow \infty η βάση πάει στο 0. Επίσης για n< [x] η βάση

είναι >1 οπότε αυξανουμένου του n η \left (\frac{x}{n} \right )^n αυξάνεται ενώ για

n> [x] μειώνεται αφού η βάση είναι <1. Με αυτό το σκεπτικό είναι εμφανές νομίζω ότι υπέθεσα ότι η

\left (\frac{x}{n} \right )^n συμπεριφέρεται σαν την \left(\frac{x}{y} \right )^y και η σειρά της πρώτης

σαν το ολοκλήρωμα της δεύτερης από 0 έως x.
Η απάντηση δεν με καλύπτει.

Υπάρχει τρόπος να έχουμε αυτή την ισότητα;

Αλλο τα ασυμπτωτικά και άλλο η ισότητα.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8520
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Όριο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Νοέμ 20, 2018 9:13 pm

Είναι όντως ισότητα και ονομάζεται Sophomore's dream. (Σε αντιδιαστολή με το Freshman's dream.) Θέλει όμως κάποια δουλειά για να αποδειχθεί.

Η απόδειξη της περίπτωσης που περιγράφεται στην wikipedia δουλεύει και για την γενική περίπτωση που έχουμε εδώ. Την ειδική περίπτωση την έχουμε δει και εδώ.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 726
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Όριο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τρί Νοέμ 20, 2018 10:29 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Νοέμ 20, 2018 8:44 pm

Η απάντηση δεν με καλύπτει.

Υπάρχει τρόπος να έχουμε αυτή την ισότητα;

Αλλο τα ασυμπτωτικά και άλλο η ισότητα.
H απάντηση δώθηκε εδώ viewtopic.php?f=9&t=63088.

Είπα ότι θα απαντήσω σε ξεχωριστή ανάρτηση και όπως φαίνεται στην εκφώνηση της παραπομπής αλλά και εδώ στην πρώτη λύση δεν αναφέρω πουθενά ότι η ισότητα ισχύει ασυμπτωτικά.

Ευχαριστώ τον Demetres για τις πληροφορίες. Δεν τις γνώριζα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης