Όριο ακολουθίας με συνάρτηση Dirichlet

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11088
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Όριο ακολουθίας με συνάρτηση Dirichlet

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Νοέμ 12, 2018 10:24 pm

Μία άσκηση για φοιτητές πού τώρα πρωτοάκουσαν όρια ακολουθιών:

Έστω f : \mathbb R \to \mathbb R η συνάρτηση Dirichlet, δηλαδή f(x)=\left\{\begin{matrix} 1,& x\in \mathbb Q & \\ 0 , & x \in \mathbb R - \mathbb Q& \end{matrix}\right..

Να βρεθεί το όριο \displaystyle{\lim _{n\to \infty} \dfrac {1}{n} \left (f(\sqrt 1)+ f(\sqrt 2)+f(\sqrt 3)+ ...+ f(\sqrt n)\right )}



Λέξεις Κλειδιά:
sov_arvyd
Δημοσιεύσεις: 12
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 27, 2016 8:26 pm

Re: Όριο ακολουθίας με συνάρτηση Dirichlet

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sov_arvyd » Τρί Νοέμ 13, 2018 12:38 am

0\leq \displaystyle{ \dfrac {1}{n} \left (f(\sqrt 1)+ f(\sqrt 2)+f(\sqrt 3)+ ...+ f(\sqrt n)\right )}=\frac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor}{n}\leq \frac{1}{\sqrt{n}}\ \forall n\in \mathbb{N}.
Το ζητόυμενο όριο λοιπόν από κριτήριο παρεμβολής είναι 0.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11088
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο ακολουθίας με συνάρτηση Dirichlet

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Νοέμ 13, 2018 1:06 am

sov_arvyd έγραψε:
Τρί Νοέμ 13, 2018 12:38 am
0\leq \displaystyle{ \dfrac {1}{n} \left (f(\sqrt 1)+ f(\sqrt 2)+f(\sqrt 3)+ ...+ f(\sqrt n)\right )}=\frac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor}{n}\leq \frac{1}{\sqrt{n}}\ \forall n\in \mathbb{N}.
Το ζητόυμενο όριο λοιπόν από κριτήριο παρεμβολής είναι 0.
:10sta10:

Aν κάποιος χρειάζεται εξήγηση γιατί  f(\sqrt 1)+ f(\sqrt 2)+f(\sqrt 3)+ ...+ f(\sqrt n)\right )}=\left \lfloor \sqrt{n}  \rfloor ας το ζητήσει.

(Υπόδειξη, το  \sqrt m είναι ρητός αν και μόνον αν m τέλειο τετράγωνο. Άρα ...)


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης