Σειρά με ΜΚΔ

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4394
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Σειρά με ΜΚΔ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Νοέμ 12, 2018 3:33 pm

Έστω \gcd(\cdot,\cdot) ο μέγιστος κοινός διαιρέτης. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\gcd(m,n)}{m^2n^2} = \frac{5 \zeta(3)}{2}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8520
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Σειρά με ΜΚΔ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Νοέμ 13, 2018 3:23 pm

Θα υπολογίσω πρώτα το άθροισμα \displaystyle  S = \sum_{(m,n) \in A} \frac{1}{m^2n^2} όπου το A περιέχει όλα τα ζεύγη πρώτων μεταξύ τους θετικών ακεραίων.

Κάθε όρος της σειράς είναι της μορφής \frac{1}{N^2} για κάποιο θετικό ακέραιο N. Μάλιστα, αν N = p_1^{r_1} \cdots p_k^{r_k}, τότε ο όρος \frac{1}{N^2} πρέπει να εμφανίζεται 2^k φορές. Πράγματι πρέπει N = mn με \gcd(m,n)=1. Άρα για κάθε 1 \leqslant i \leqslant k, ο p_i διαιρεί ακριβώς ένα από τους m,n και μάλιστα εμφανίζεται στο γινόμενο πρώτων παραγόντων αυτού του αριθμού με την μορφή p_i^{r_i}. Έχουμε ακριβώς δύο επιλογές για κάθε τέτοιο i, οπότε συνολικά έχουμε 2^k επιλογές.

Παρατηρούμε τώρα ότι

\displaystyle  S = \prod_p \left(1 + \frac{2}{p^2} + \frac{2}{p^4} + \cdots \right)

αφού και σε αυτό το άπειρο γινόμενο κάθε όρος είναι της μορφής M/N^2 όπου M = 2^k αν ο N έχει ακριβώς k πρώτους διαιρέτες.

Όμως

\displaystyle  1 + \frac{2}{p^2} + \frac{2}{p^4} + \cdots = 1 + \frac{2}{p^2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{p^2}} = \frac{p^2+1}{p^2-1} = \frac{1 + \frac{1}{p^2}}{1 - \frac{1}{p^2}} = \frac{1 - \frac{1}{p^4}}{\left(1 - \frac{1}{p^2} \right)^2}

Έχουμε

\displaystyle  \prod_p \frac{1}{1-\frac{1}{p^2}} = \prod_p \left(1 + \frac{1}{p^2} + \frac{1}{p^4} +\cdots \right) = \zeta(2)

και ομοίως \displaystyle  \prod_p \left(1 - \frac{1}{p^4}\right) = \zeta(4)

Άρα

\displaystyle  S = \frac{\zeta(2)^2}{\zeta(4)} = \frac{5}{2}

χρησιμοποιώντας ότι \zeta(2) = \pi^2/6 και \zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}.

Πίσω στο αρχικό άθροισμα τώρα.

Αν \gcd(m,n) = d τότε μπορούμε να γράψουμε m = dm' και n = dn' όπου \gcd(m',n')=1 (και αντιστρόφως). Τότε έχουμε \displaystyle  \frac{\gcd(m,n)}{m^2n^2} = \frac{1}{d^3} \frac{1}{(m'n')^2}

Άρα \displaystyle \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\gcd(m,n)}{m^2n^2} = \sum_{d=1}^{\infty} \frac{1}{d^3} \sum_{(m',n') \in A} \frac{1}{(m'n')^2} = \frac{5\zeta(3)}{2}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες