midpoint convex και φραγμένη άνω είναι κυρτή
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
midpoint convex και φραγμένη άνω είναι κυρτή
Εστω ανοικτό διάστημα
και
συνάρτηση που είναι άνω φραγμένη σε κάθε
(το φράγμα μπορεί να εξαρτάται από το κλειστό διάστημα)
Αν για κάθε
ισχύει ότι
τότε η είναι κυρτή.
και
συνάρτηση που είναι άνω φραγμένη σε κάθε
(το φράγμα μπορεί να εξαρτάται από το κλειστό διάστημα)
Αν για κάθε
ισχύει ότι
τότε η είναι κυρτή.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: midpoint convex και φραγμένη άνω είναι κυρτή
Για κάθεΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Παρ Νοέμ 09, 2018 11:53 pmΕστω ανοικτό διάστημα
και
συνάρτηση που είναι άνω φραγμένη σε κάθε
(το φράγμα μπορεί να εξαρτάται από το κλειστό διάστημα)
Αν για κάθε
ισχύει ότι
τότε η είναι κυρτή.
ισχύει ότι (1)
Έστω με
Με επαγωγή ,από τον ορισμό του και από (1) έχουμε :
Ορίζουμε τέτοια ώστε
Mε επαγωγή και από τον ορισμό των έχουμε :
Έστω
και έστω η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία
Ορίζουμε
τέτοια ώστε
όπου η ευκλείδεια νόρμα στον
Mε επαγωγή προκύπτει ότι
i)
ii)
iii)
Από i),ii),iii) συνάγουμε ότι δεν είναι άνω φραγμένη .ATOΠΟ .To ζητούμενο έπεται.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: midpoint convex και φραγμένη άνω είναι κυρτή
Η απόδειξη που ακολουθεί είναι στην ουσία η ίδια με του Μιχάλη.
Μετά από αρκετά π.μ και αφού κατάλαβα την ιδέα του, χρησιμοποιώντας γνωστές τεχνικές
την τροποποίησα ώστε να είναι περισσότερο σαφής.
Να σημειώσω ότι βρήκα αρκετές αποδείξεις για το πρόβλημα σε βιβλία.
Καμία δεν ήταν στην ιδέα του Μιχάλη .
Συγχαρητήρια λοιπόν Μιχάλη.
Εστω ότι δεν είναι κυρτή.
Θα υπάρχουν
και ώστε
Θεωρούμε την
Για την έχουμε
1)
2) είναι midpoint convex
3)
4)είναι φραγμένη άνω.
Θα καταλήξουμε σε ΑΤΟΠΟ κατασκευάζοντας μια ακολουθία
από σημεία του ώστε
Θέτουμε
Αν τότε θέτουμε
ενώ αν
τότε θέτουμε
Η περίπτωση δεν παίζει (γιατί;)
Επειδή είναι midpoint convex
έχουμε για την πρώτη περίπτωση
Αρα
Ομοια και για την δεύτερη περίπτωση
Εστω ότι έχουμε ορίσει το
Αν τότε θέτουμε
ενώ αν τότε θέτουμε
Ας πάρουμε την δεύτερη περίπτωση
Θα είναι
Ετσι χρησιμοποιώντας και την επαγωγική υπόθεση έχουμε
που συμπληρώνει την απόδειξη
Μετά από αρκετά π.μ και αφού κατάλαβα την ιδέα του, χρησιμοποιώντας γνωστές τεχνικές
την τροποποίησα ώστε να είναι περισσότερο σαφής.
Να σημειώσω ότι βρήκα αρκετές αποδείξεις για το πρόβλημα σε βιβλία.
Καμία δεν ήταν στην ιδέα του Μιχάλη .
Συγχαρητήρια λοιπόν Μιχάλη.
Εστω ότι δεν είναι κυρτή.
Θα υπάρχουν
και ώστε
Θεωρούμε την
Για την έχουμε
1)
2) είναι midpoint convex
3)
4)είναι φραγμένη άνω.
Θα καταλήξουμε σε ΑΤΟΠΟ κατασκευάζοντας μια ακολουθία
από σημεία του ώστε
Θέτουμε
Αν τότε θέτουμε
ενώ αν
τότε θέτουμε
Η περίπτωση δεν παίζει (γιατί;)
Επειδή είναι midpoint convex
έχουμε για την πρώτη περίπτωση
Αρα
Ομοια και για την δεύτερη περίπτωση
Εστω ότι έχουμε ορίσει το
Αν τότε θέτουμε
ενώ αν τότε θέτουμε
Ας πάρουμε την δεύτερη περίπτωση
Θα είναι
Ετσι χρησιμοποιώντας και την επαγωγική υπόθεση έχουμε
που συμπληρώνει την απόδειξη
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: midpoint convex και φραγμένη άνω είναι κυρτή
Για λόγους πλουραλισμού γράφω και την δική μου απόδειξη.
Εστω ότι δεν είναι κυρτή.
Θα υπάρχουν
και ώστε
Θεωρούμε την
Για την έχουμε
1)
2) είναι midpoint convex
3)
4)είναι φραγμένη άνω.
Για την έχουμε
Αν τότε
Αφού η είναι φραγμένη άνω και θα υπάρχει το
Για αρκετά μικρό έχουμε
Όμοια για
Από τον ορισμό του sup υπάρχει με
Παίρνουμε
Από την σχέση
εχουμε ότι η
Εστω ότι ισχύει η πρώτη.
Κάνοντας το ίδιο βλέπουμε ότι
Αλλά κάποτε θα είναι
που μας δίνει ΑΤΟΠΟ.
Αν ισχύει η δεύτερη το ΑΤΟΠΟ προκύπτει στο
Εστω ότι δεν είναι κυρτή.
Θα υπάρχουν
και ώστε
Θεωρούμε την
Για την έχουμε
1)
2) είναι midpoint convex
3)
4)είναι φραγμένη άνω.
Για την έχουμε
Αν τότε
Αφού η είναι φραγμένη άνω και θα υπάρχει το
Για αρκετά μικρό έχουμε
Όμοια για
Από τον ορισμό του sup υπάρχει με
Παίρνουμε
Από την σχέση
εχουμε ότι η
Εστω ότι ισχύει η πρώτη.
Κάνοντας το ίδιο βλέπουμε ότι
Αλλά κάποτε θα είναι
που μας δίνει ΑΤΟΠΟ.
Αν ισχύει η δεύτερη το ΑΤΟΠΟ προκύπτει στο
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες