Μία ενδιαφέρουσα ισοδυναμία

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

perpendicular
Δημοσιεύσεις: 9
Εγγραφή: Παρ Ιουν 28, 2013 7:31 pm

Μία ενδιαφέρουσα ισοδυναμία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από perpendicular » Τετ Νοέμ 07, 2018 5:14 am

Έστω f:\left ( 0,+\infty \right )\rightarrow \mathbb{R} συνεχής.Δείξτε ότι τα επόμενα είναι ισοδύναμα:
(i)f(\sqrt{xy})\leq \frac{1}{2}\left[f(x)+f(y)\right ],\forall x\forall y\in \left ( 0,+\infty \right )
(ii)η συνάρτησηg:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} ώστε g(t)=f(e^{t}),\forall t\in \mathbb{R} είναι κυρτή

Η άσκηση περιέχεται στο βιβλίο Fundamentals of Convex Analysis των Jeans-Baptiste Hiriart-Urruty & Claude Lemarechal στο οποίο δεν περιέχεται η λύση της και την βρήκα ενδιαφέρουσα αρκετά.Η συνεπαγωγή (ii)\Rightarrow (i) είναι αρκετά εύκολη.



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 208
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Μία ενδιαφέρουσα ισοδυναμία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Νοέμ 07, 2018 9:12 am

perpendicular έγραψε:
Τετ Νοέμ 07, 2018 5:14 am
Έστω f:\left ( 0,+\infty \right )\rightarrow \mathbb{R} συνεχής.Δείξτε ότι τα επόμενα είναι ισοδύναμα:
(i)f(\sqrt{xy})\leq \frac{1}{2}\left[f(x)+f(y)\right ],\forall x\forall y\in \left ( 0,+\infty \right )
(ii)η συνάρτησηg:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} ώστε g(t)=f(e^{t}),\forall t\in \mathbb{R} είναι κυρτή

Η άσκηση περιέχεται στο βιβλίο Fundamentals of Convex Analysis των Jeans-Baptiste Hiriart-Urruty & Claude Lemarechal στο οποίο δεν περιέχεται η λύση της και την βρήκα ενδιαφέρουσα αρκετά.Η συνεπαγωγή (ii)\Rightarrow (i) είναι αρκετά εύκολη.
Καλημέρα Γιώργο. Και η (i)\Rightarrow(ii) εύκολη είναι αν γνωρίζουμε ότι για να εξετάσουμε αν μια συνεχής

συνάρτηση είναι κυρτή αρκεί να ισχύει ο ορισμός για \lambda =\frac{1}{2} ή οποιοδήποτε άλλο

\lambda \in(0,1). Η απόδειξη δεν είναι απλή αλλά περνάει μέσα από τους ρητούς και την ολοκληρώνει η

συνέχεια. Δες midpoint convexity. Με αυτό σαν δεδομένο έχουμε:

Έστω x_1,x_2 \in(0,+\infty ). Υπάρχουν t_1,t_2 \in\mathbb{R} ώστε e^{t_1}=x_1 και e^{t_2}=x_2.

Από την υπόθεση τώρα παίρνουμε την

f(e^{\frac{t_1+t_2}{2}})\leq \frac{1}{2} \left (f(e^{t_1})+f(e^{t_2}) \right ) \Rightarrow g(\frac{t_1+t_2}{2})\leq \frac{1}{2} (g(t_1)+g(t_2))

και η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί ως προς την πρώτη συνεπαγωγή. Την άλλη την αφήνω ως εύκολη όπως είπες.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2000
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μία ενδιαφέρουσα ισοδυναμία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Νοέμ 07, 2018 10:37 am

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Τετ Νοέμ 07, 2018 9:12 am
perpendicular έγραψε:
Τετ Νοέμ 07, 2018 5:14 am
Έστω f:\left ( 0,+\infty \right )\rightarrow \mathbb{R} συνεχής.Δείξτε ότι τα επόμενα είναι ισοδύναμα:
(i)f(\sqrt{xy})\leq \frac{1}{2}\left[f(x)+f(y)\right ],\forall x\forall y\in \left ( 0,+\infty \right )
(ii)η συνάρτησηg:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} ώστε g(t)=f(e^{t}),\forall t\in \mathbb{R} είναι κυρτή

Η άσκηση περιέχεται στο βιβλίο Fundamentals of Convex Analysis των Jeans-Baptiste Hiriart-Urruty & Claude Lemarechal στο οποίο δεν περιέχεται η λύση της και την βρήκα ενδιαφέρουσα αρκετά.Η συνεπαγωγή (ii)\Rightarrow (i) είναι αρκετά εύκολη.
Καλημέρα Γιώργο. Και η (i)\Rightarrow(ii) εύκολη είναι αν γνωρίζουμε ότι για να εξετάσουμε αν μια συνεχής

συνάρτηση είναι κυρτή αρκεί να ισχύει ο ορισμός για \lambda =\frac{1}{2} ή οποιοδήποτε άλλο

\lambda \in(0,1). Η απόδειξη δεν είναι απλή αλλά περνάει μέσα από τους ρητούς και την ολοκληρώνει η

συνέχεια. Δες midpoint convexity. Με αυτό σαν δεδομένο έχουμε:

Έστω x_1,x_2 \in(0,+\infty ). Υπάρχουν t_1,t_2 \in\mathbb{R} ώστε e^{t_1}=x_1 και e^{t_2}=x_2.

Από την υπόθεση τώρα παίρνουμε την

f(e^{\frac{t_1+t_2}{2}})\leq \frac{1}{2} \left (f(e^{t_1})+f(e^{t_2}) \right ) \Rightarrow g(\frac{t_1+t_2}{2})\leq \frac{1}{2} (g(t_1)+g(t_2))

και η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί ως προς την πρώτη συνεπαγωγή. Την άλλη την αφήνω ως εύκολη όπως είπες.
Εχω την άποψη ότι δεν είναι κάτι ιδιαίτερο η απόδειξη.
Την γράφω

Χρησιμοποιώντας την f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})\leq \frac{1}{2}(f(x_{1})+f(x_{2}))

και επαγωγή αποδεικνύουμε ότι για n\in \mathbb{N}

και x_{1},x_{2},...x_{2^{n}}

είναι f(\frac{x_{1}+x_{2}+...x_{2^{n}}}{2^{n}})\leq \frac{1}{2^{n}}(f(x_{1})+f(x_{2})+...f(x_{2^{n}}))

Για 1\leq k< 2^{n}

και x=x_{1}=...=x_{k},y=x_{k+1}=...=x_{2^{n}}

έχουμε f(\frac{k}{2^{n}}x+\frac{2^{n}-k}{2^{n}}y)\leq \frac{k}{2^{n}}f(x)+\frac{2^{n}-k}{2^{n}}f(y)

Αν \lambda \in (0,1)

τότε \lim_{m\rightarrow \infty }\frac{\left [ 2^{m} \lambda \right ]}{2^{m}}=\lambda

Αν στην

f(\frac{\left [ 2^{m} \lambda \right ]}{2^{m}}x+(1-\frac{\left [ 2^{m} \lambda \right ]}{2^{m}})y)\leq \frac{\left [ 2^{m} \lambda \right ]}{2^{m}}f(x)+(1-\frac{\left [ 2^{m} \lambda \right ]}{2^{m}})f(y)

πάρουμε m\rightarrow \infty

τότε λόγω της συνέχειας συμπεραίνουμε ότι

f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)

που μας δίνει την κυρτότητα


perpendicular
Δημοσιεύσεις: 9
Εγγραφή: Παρ Ιουν 28, 2013 7:31 pm

Re: Μία ενδιαφέρουσα ισοδυναμία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από perpendicular » Τετ Νοέμ 07, 2018 12:17 pm

Ευχαριστώ πολύ και τους δυο σας που ασχοληθηκατε.

Λαμπρο δεν ήξερα αυτό για το midpoint convexity και αποδεικνυοτας εύκολα ότι g(\frac{x+y}{2})\leqslant \frac{g(x)+g(y)}{2} μου πήρε ώρα να περάσω στο τυχαίο
\lambda\in \left ( 0, 1\right ).

Σταύρο σε ευχαριστώ πολύ κι εσένα


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ και 3 επισκέπτες