mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 26, 2018 2:16 am**

Προσπαθώ να συμπληρώσω τις λεπτομέρειες στον ακόλουθο ισχυρισμό. Θα ήθελα κάποια βοήθεια, γνώμη αν είναι δυνατόν.
Έστω $U:\mathbb{R}^{d} \longrightarrow \mathbb{R}$ συνεχής και τέτοια ώστε $\lim \limits_{|x|\longrightarrow\infty} \frac{U(x)}{|x|^{2}} = \infty$ .
και έστω M={τα μέτρα πιθανότητας

του $\mathbb{R}^{d}$ με την ιδιότητα $\int Udv <\infty$ } εφοδιασμένο με την ασθενή τοπολογία και $F: M \rightarrow \mathbb{R}$ με $F(v) = \int\int|x-y|^{2}dv(x)dv(y)$ .
Να δειχθεί ότι η F είναι συνεχής.

Η ιδέα μου είναι να πάρω $v_{n} \rightarrow v$ ασθενώς και να δείξω ότι $F(v_{n})\rightarrow F(v)$
Από την ιδιότητα του ορίου της U έχουμε οτι υπάρχει μπάλα $B\subseteq\mathbb{R}^{d}$ τέτοια ώστε $U(x)\geqslant|x|^{2}$ για όλα τα $x\in B^{c}$

$|F(v_{n}) - F(v)| \leqslant| \int _{B^{2}} |x-y|^{2}dv_{n}(x)dv_{n}(y)-\int _{B^{2}} |x-y|^{2}dv(x)dv(y) |\, + \, | \int _{{B^{c}}^{2}} |x-y|^{2}dv_{n}(x)dv_{n}(y)-\int _{{B^{c}}^{2}} |x-y|^{2}dv(x)dv(y) |$

όπου στο πρώτο απόλυτο μπορώ να χρησιμοποιήσω την ασθενή σύγκλιση των μέτρων και στο δεύτερο την ιδιότητα του ορίου της U ;;;

mathematica.gr

Συνέχεια συναρτησιοειδούς σε χώρο μέτρων πιθανότητας

Συνέχεια συναρτησιοειδούς σε χώρο μέτρων πιθανότητας