Ανισότητα για τριγωνομετρικό πολυώνυμο με αραιές συχνότητες

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Θεωρούμε τους φυσικούς $1\leq k_{1}< k_{2}< ....< k_{n}$

με την ιδιότητα $k_{i+1}\geq 3k_{i},i=1,2,....,n-1$

Αν $f(x)=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cos k_{i}x$

όπου $a_{i}\in \mathbb{R}$

τότε $2\left \| f \right \|_{\infty }\geq \sum_{i=1}^{n}\left | a_{i} \right |$

θυμίζω
$\left \| f \right \|_{\infty }=max\left \{ \left | f(x) \right |:x\in \mathbb{R} \right \}$

#2

Θα δείξω με επαγωγή στο

το εξής:

Υπάρχει ένα διάστημα I_n

μήκους $\frac{2\pi}{3k_n}$ ώστε $\displaystyle f(x) \geqslant \frac{1}{2} [|a_1| + \cdots + |a_n|]$ για κάθε $x \in I_n$ .

Για n=1

έχω $f(x) = a_1 \cos{(k_1x)}$ και αρκεί να πάρω $I_1 = [-\tfrac{\pi}{3k_1},\tfrac{\pi}{3k_1}]$ ή $I_1 = [\tfrac{2\pi}{3k_1},\tfrac{4\pi}{3k_1}]$ ανάλογα με το αν το a_1

είναι θετικό ή μη θετικό.

Έστω ότι ισχύει για n=r

. Για

θα πάρω ως $I_{r+1}$ ένα υποσύνολο του I_r

. Αρκεί να έχω επιπλέον ότι $a_{r+1}\cos{(k_{r+1}x)} \geqslant |a_{r+1}|/2$ για κάθε $x \in I_{r+1}$ . Παρατηρώ όμως ότι το $I = k_{r+1}I_r = \{k_{r+1}x: x \in I_r\}$ είναι διάστημα μήκους τουλάχιστον $\frac{2k_{r+1}\pi}{3k_r} \geqslant 2\pi$ . Οπότε μπορώ να βρω υποδιάστημα

του

μήκους $2\pi/3$ ώστε $a_{r+1}\cos{y} \geqslant |a_{r+1}|/2$ για κάθε $y \in I'$ (όπως στην περίπτωση n=1

). Τότε το $I_{r+1} = \frac{1}{k_{r+1}}I'$ είναι το διάστημα που ψάχνω.

Ανισότητα για τριγωνομετρικό πολυώνυμο με αραιές συχνότητες

Ανισότητα για τριγωνομετρικό πολυώνυμο με αραιές συχνότητες

Re: Ανισότητα για τριγωνομετρικό πολυώνυμο με αραιές συχνότητες

Μέλη σε σύνδεση