Ελάχιστο ολοκληρώματος αύξουσας

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$

αύξουσα συνάρτηση.

Θέτουμε $F(a)=\int_{0}^{1}\left | f(t)-a \right |dt$ ,

όπου $a\in \mathbb{R}$

Νά δειχθεί ότι

$min\left \{ F(a):a\in \mathbb{R} \right \}=F(c)$

όπου το

είναι τέτοιο ώστε

$\lim_{x\rightarrow (\frac{1}{2})^{-}}f(x)\leq c\leq \lim_{x\rightarrow (\frac{1}{2})^{+}}f(x)$

#2

Έστω $\displaystyle a < \lim_{x \to 0.5^-} f(x) \leqslant c \leqslant \lim_{x \to 0.5^+} f(x)$

Για t > 1/2

έχουμε $f(t) \geqslant c > a$ οπότε |f(t) - a| - |f(t)-c| = c-a

.
Για $t \leqslant 1/2$ έχουμε $|f(t) - a| - |f(t)-c| \geqslant a-c$ .

Άρα $\displaystyle F(a) - F(c) \geqslant \int_0^{1/2} (a-c) \, \mathrm{d}t + \int_{1/2}^1 (c-a) \, \mathrm{d}t = 0$

Με παρόμοιο τρόπο εργαζόμαστε και αν $\displaystyle \lim_{x \to 0.5^-} f(x) \leqslant c \leqslant \lim_{x \to 0.5^+} f(x) < a$

Οπότε το ζητούμενο έπεται. (Για οποιοδήποτε

έχει την συγκεκριμένη ιδιότητα.)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Demetres έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 21, 2018 1:15 pm
Έστω $\displaystyle a < \lim_{x \to 0.5^-} f(x) \leqslant c \leqslant \lim_{x \to 0.5^+} f(x)$

Για έχουμε $f(t) \geqslant c > a$ οπότε .
Για $t \leqslant 1/2$ έχουμε $|f(t) - a| - |f(t)-c| \geqslant a-c$ .

Άρα $\displaystyle F(a) - F(c) \geqslant \int_0^{1/2} (a-c) \, \mathrm{d}t + \int_{1/2}^1 (c-a) \, \mathrm{d}t = 0$

Με παρόμοιο τρόπο εργαζόμαστε και αν $\displaystyle \lim_{x \to 0.5^-} f(x) \leqslant c \leqslant \lim_{x \to 0.5^+} f(x) < a$

Οπότε το ζητούμενο έπεται. (Για οποιοδήποτε έχει την συγκεκριμένη ιδιότητα.)

Πολύ ωραία.

Απλούστατη λύση για κάτι που φαίνεται βουνό.

Ελάχιστο ολοκληρώματος αύξουσας

Ελάχιστο ολοκληρώματος αύξουσας

Re: Ελάχιστο ολοκληρώματος αύξουσας

Re: Ελάχιστο ολοκληρώματος αύξουσας

Μέλη σε σύνδεση