Είναι απόλυτα συγκλίνουσα;

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ τυχαία πραγματική ακολουθία τέτοια ώστε για κάθε αναδιάταξη $\sigma$ του $\mathbb{N}$ η σειρά $\sum \limits_{n} a_{\sigma(n)}$ να συγκλίνει στην ίδια τιμή. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η σειρά $\sum \limits_{n} a_n$ συγκλίνει απόλυτα; Αιτιολογείστε την απάντησή σας.

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 21, 2018 9:46 am
Έστω $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ τυχαία πραγματική ακολουθία τέτοια ώστε για κάθε αναδιάταξη $\sigma$ του $\mathbb{N}$ η σειρά $\sum \limits_{n} a_{\sigma(n)}$ να συγκλίνει στην ίδια τιμή. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η σειρά $\sum \limits_{n} a_n$ συγκλίνει απόλυτα; Αιτιολογείστε την απάντησή σας.

Έστω ότι υπάρχει αναδιάταξη $\sigma$ για την οποία η σειρά δεν συγκλίνει απόλυτα. Από υπόθεση $\sum a_{\sigma (n)}=a.$

Από Riemann υπάρχει αναδιάταξη $\sigma'$ και πραγματικός $b\neq a$ ώστε $\sum a_{\sigma' (n)}=b.$

Μόλις βρήκαμε δύο αναδιατάξεις οι σειρές των οποίων συγκλίνουν σε διαφορετικές τιμές (άτοπο). Άρα για κάθε αναδιάταξη η

σειρά που προκύπτει είναι απόλυτα συγκλίνουσα και επειδή η ταυτοτική είναι μια αναδιάταξη έχουμε ότι τελικά η $\sum a_n$

συγκλίνει απόλυτα.

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 21, 2018 9:46 am
Έστω $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ τυχαία πραγματική ακολουθία τέτοια ώστε για κάθε αναδιάταξη $\sigma$ του $\mathbb{N}$ η σειρά $\sum \limits_{n} a_{\sigma(n)}$ να συγκλίνει στην ίδια τιμή. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η σειρά $\sum \limits_{n} a_n$ συγκλίνει απόλυτα; Αιτιολογείστε την απάντησή σας.

Μπορούμε και με πολύ λιγότερες υποθέσεις. Συγκεκριμένα μας αρκεί "για κάθε αναδιάταξη $\sigma$ του $\mathbb{N}$ η σειρά $\sum \limits_{n} a_{\sigma(n)}$ να συγκλίνει (όχι κατ' ανάγκη στην ίδια τιμή)".

Η απάντηση ερώτημα είναι άμεση από το θεώρημα αναδιάταξης Riemann, αφού αν η σειρά δεν συγκλίνει απόλυτα τότε έχει αναδιάταξη που αποκλίνει (και μάλιστα μπορούμε να φροντίσουμε να αποκλίνει στο άπειρο ή να φροντίσουμε να ταλαντεύεται μεταξύ δύο τιμών). Η απόδειξη του θεωρήματος Riemann είναι απλή και υπάρχει σε όλα τα βιβλία Ανάλυσης.

Tolaso J Kos · #4

Πολύ ενδιαφέρον ότι μπορούμε να χαλαρώσουμε τις υποθέσεις !!

Είναι απόλυτα συγκλίνουσα;

Είναι απόλυτα συγκλίνουσα;

Re: Είναι απόλυτα συγκλίνουσα;

Re: Είναι απόλυτα συγκλίνουσα;

Re: Είναι απόλυτα συγκλίνουσα;

Μέλη σε σύνδεση