Είναι απόλυτα συγκλίνουσα;

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4394
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Είναι απόλυτα συγκλίνουσα;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Σεπ 21, 2018 9:46 am

Έστω \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} τυχαία πραγματική ακολουθία τέτοια ώστε για κάθε αναδιάταξη \sigma του \mathbb{N} η σειρά \sum \limits_{n} a_{\sigma(n)} να συγκλίνει στην ίδια τιμή. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η σειρά \sum \limits_{n} a_n συγκλίνει απόλυτα; Αιτιολογείστε την απάντησή σας.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 726
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Είναι απόλυτα συγκλίνουσα;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Σεπ 21, 2018 10:49 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Σεπ 21, 2018 9:46 am
Έστω \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} τυχαία πραγματική ακολουθία τέτοια ώστε για κάθε αναδιάταξη \sigma του \mathbb{N} η σειρά \sum \limits_{n} a_{\sigma(n)} να συγκλίνει στην ίδια τιμή. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η σειρά \sum \limits_{n} a_n συγκλίνει απόλυτα; Αιτιολογείστε την απάντησή σας.
Έστω ότι υπάρχει αναδιάταξη \sigma για την οποία η σειρά δεν συγκλίνει απόλυτα. Από υπόθεση \sum  a_{\sigma (n)}=a.

Από Riemann υπάρχει αναδιάταξη \sigma' και πραγματικός b\neq a ώστε \sum a_{\sigma' (n)}=b.

Μόλις βρήκαμε δύο αναδιατάξεις οι σειρές των οποίων συγκλίνουν σε διαφορετικές τιμές (άτοπο). Άρα για κάθε αναδιάταξη η

σειρά που προκύπτει είναι απόλυτα συγκλίνουσα και επειδή η ταυτοτική είναι μια αναδιάταξη έχουμε ότι τελικά η \sum a_n

συγκλίνει απόλυτα.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12500
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Είναι απόλυτα συγκλίνουσα;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Σεπ 21, 2018 11:54 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Σεπ 21, 2018 9:46 am
Έστω \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} τυχαία πραγματική ακολουθία τέτοια ώστε για κάθε αναδιάταξη \sigma του \mathbb{N} η σειρά \sum \limits_{n} a_{\sigma(n)} να συγκλίνει στην ίδια τιμή. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η σειρά \sum \limits_{n} a_n συγκλίνει απόλυτα; Αιτιολογείστε την απάντησή σας.
Μπορούμε και με πολύ λιγότερες υποθέσεις. Συγκεκριμένα μας αρκεί "για κάθε αναδιάταξη \sigma του \mathbb{N} η σειρά \sum \limits_{n} a_{\sigma(n)} να συγκλίνει (όχι κατ' ανάγκη στην ίδια τιμή)".

Η απάντηση ερώτημα είναι άμεση από το θεώρημα αναδιάταξης Riemann, αφού αν η σειρά δεν συγκλίνει απόλυτα τότε έχει αναδιάταξη που αποκλίνει (και μάλιστα μπορούμε να φροντίσουμε να αποκλίνει στο άπειρο ή να φροντίσουμε να ταλαντεύεται μεταξύ δύο τιμών). Η απόδειξη του θεωρήματος Riemann είναι απλή και υπάρχει σε όλα τα βιβλία Ανάλυσης.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4394
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Είναι απόλυτα συγκλίνουσα;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Σεπ 21, 2018 2:14 pm

Πολύ ενδιαφέρον ότι μπορούμε να χαλαρώσουμε τις υποθέσεις !!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης