Αποκλίνει ... ή μήπως όχι;
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5224
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Αποκλίνει ... ή μήπως όχι;
Ο αριθμός παίρνει τιμές πάνω από όλες τις πιθανές δυνάμεις που έχουν βάση και εκθέτη θετικό ακέραιο μεγαλύτερο του , με τη προϋπόθεση ότι παίρνει κάθε τιμή μία φορά. Να εξεταστεί αν συγκλίνει το άθροισμα. Στη περίπτωση που συγκλίνει, καλείστε να το υπολογίσετε.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15746
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Αποκλίνει ... ή μήπως όχι;
Η ΛΥΣΗ ΕΙΝΑΙ ΛΑΘΟΣ. Βλέπε το επόμενο ποστ.Tolaso J Kos έγραψε: ↑Κυρ Σεπ 16, 2018 3:41 pmΟ αριθμός παίρνει τιμές πάνω από όλες τις πιθανές δυνάμεις που έχουν βάση και εκθέτη θετικό ακέραιο μεγαλύτερο του , με τη προϋπόθεση ότι παίρνει κάθε τιμή μία φορά. Να εξεταστεί αν συγκλίνει το άθροισμα. Στη περίπτωση που συγκλίνει, καλείστε να το υπολογίσετε.
Από την μοναδικότητα της ανάλυσης σε πρώτους οι αριθμοί της μορφής , όπου πρώτος και φυσικός, είναι επιτρεπτά/διαφορετικά .
Για σταθερό το άθροισμα πάνω από τα έχει συνεισφορά
Αλλάζοντας το και επειδή υπάρχουν άπειροι πρώτοι, συμπεραίνουμε ότι η σειρά αποκλίνει.
Ευχαριστώ τον Δημήτρη για την επισήμανση.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Τρί Σεπ 18, 2018 6:51 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Αποκλίνει ... ή μήπως όχι;
Μιχάλη, υπάρχει θέμα με την απόδειξη διότι προσθέτεις τους όρους για που απαγορεύεται.
Το άθροισμα συγκλίνει. Έχω μια ιδέα για το πως θα υπολογιστεί αλλά δεν το δοκίμασα ακόμη.
Το άθροισμα συγκλίνει. Έχω μια ιδέα για το πως θα υπολογιστεί αλλά δεν το δοκίμασα ακόμη.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15746
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Αποκλίνει ... ή μήπως όχι;
Δημήτρη. έχεις δίκιο , ξέχασα τον περιορισμό
Ας δείξω τουλάχιστον την σύγκλιση που είναι απλή.
Το δοθέν άθροισμα (βάζοντας και τις επαναλήψεις μέσα) είναι . Τα μερικά του αθροίσματα είναι το πολύ
που είναι φραγμένα.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Αποκλίνει ... ή μήπως όχι;
Δοκιμάζοντας την ιδέα δεν δούλεψε για να βρω κάποια κλειστή μορφή. Εμφανίζονται στους υπολογισμούς μου αθροίσματα της μορφής όπου η συνάρτηση Mobius.
Τόλη, έχουμε απάντηση σε κλειστή μορφή;
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5224
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Αποκλίνει ... ή μήπως όχι;
Ισχυρίζομαι αρχικά ότι όπου η συνάρτηση Möbius.
Πράγματι για κάθε που είναι τέλεια δύναμη, γράφουμε με το να μην είναι τέλεια δύναμη. Τότε το εμφανίζεται στο πιο πάνω διπλό άθροισμα από μία φορά για κάθε με ως όπου και . (Μόνο έτσι μπορεί να εμφανιστεί.) Το άθροισμα των συντελεστών με τους οποίους εμφανίζεται ισούται με
αφού ως γνωστό για . Αυτό αποδεικνύει και τον ισχυρισμό. [Οι εναλλαγές αθροισμάτων επιτρέπονται επειδή με παρόμοιο τρόπο όπως του Μιχάλη πιο πάνω η σύγκλιση είναι απόλυτη.]
Έχουμε τώρα
Άρα
όπως ακριβώς και προηγουμένως.
Επομένως
Πράγματι για κάθε που είναι τέλεια δύναμη, γράφουμε με το να μην είναι τέλεια δύναμη. Τότε το εμφανίζεται στο πιο πάνω διπλό άθροισμα από μία φορά για κάθε με ως όπου και . (Μόνο έτσι μπορεί να εμφανιστεί.) Το άθροισμα των συντελεστών με τους οποίους εμφανίζεται ισούται με
αφού ως γνωστό για . Αυτό αποδεικνύει και τον ισχυρισμό. [Οι εναλλαγές αθροισμάτων επιτρέπονται επειδή με παρόμοιο τρόπο όπως του Μιχάλη πιο πάνω η σύγκλιση είναι απόλυτη.]
Έχουμε τώρα
Άρα
όπως ακριβώς και προηγουμένως.
Επομένως
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5224
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5224
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Αποκλίνει ... ή μήπως όχι;
Ας δώσουμε και μία άλλη λύση.
Ας δηλώσουμε με το σύνολο των θετικών ακεραίων που είναι μεγαλύτεροι του και δεν είναι τέλειες δυνάμεις ( δηλ. δεν είναι της μορφής όπου θετικός ακέραιος και ) . Εφόσον η σειρά αποτελείται από θετικούς όρους , μπορούμε ελεύθερα να τους αναδιατάξουμε. Τότε,
Ας δηλώσουμε με το σύνολο των θετικών ακεραίων που είναι μεγαλύτεροι του και δεν είναι τέλειες δυνάμεις ( δηλ. δεν είναι της μορφής όπου θετικός ακέραιος και ) . Εφόσον η σειρά αποτελείται από θετικούς όρους , μπορούμε ελεύθερα να τους αναδιατάξουμε. Τότε,
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης