Μη μηδενική ακολουθία

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4011
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Μη μηδενική ακολουθία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Σεπ 10, 2018 1:10 pm

Ας αναβιώσουμε την άσκηση που βρίσκεται στο σύνδεσμο εδώ....

Για μία ακολουθία A=(a_0, a_1, a_2, \dots ) πραγματικών αριθμών ας δηλώνει η SA=(a_0, a_0+a_1, a_0+a_1+a_2, \dots) την ακολουθία των μερικών αθροισμάτων a_0+a_1+a_2 + \cdots. Μπορεί κάποιος να βρει μια μη μηδενική ακολουθία A για την οποία οι ακολουθίες A, SA, SSA, SSSA, \dots να είναι όλες συγκλίνουσες;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γ.-Σ. Σμυρλής
Δημοσιεύσεις: 556
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος

Re: Μη μηδενική ακολουθία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γ.-Σ. Σμυρλής » Τρί Οκτ 02, 2018 12:20 am

Ἔστω \{a_n\} μία τέτοια ἀκολουθία. Παρατηροῦμε ὅτι τόσο ἡ ἀκολουθία ὅσο καὶ ὅλες οἱ ἀκολουθίες SA, SSA, \ldots, ποὺ προκύπτουν μέσω ἐπαναλαμβανομένων μερικῶν ἀθροισμάτων, συγκλίνουν στὸ μηδέν.

Θέτομε f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n. Ἀφοῦ ἡ \{a_n\} συγκλίνει στὸ μηδέν, τότε ἡ f εἶναι ἀναλυτικὴ στὸν μοναδιαῖο δίσκο
καὶ ἐπὶ πλέον \lim_{x\to 1^-}f(x)=0.

Ἡ ἀναλυτικὴ συνάρτηση ποὺ ἀντιστοιχεῖ στὴν SA εἶναι βεβαίως ἡ
\displaystyle{ 
g(z)=(1+z+z^2+\cdots )f(z)=\frac{f(z)}{1-z}, 
}
καὶ παρομοίως, θὰ πρέπει νὰ ἔχομε ὅτι g(1)=0, ἀφοῦ ἡ SA τείνει στὸ 0. Ἐπαναλαμβάνοντας τὸ ἴδιο ἐπιχείρημα, λαμβάνομε ὅτι ἡ f ἔχει ρίζα ἄπειρης τάξεως στὸ z=1, τὸ ὁποῖο εἶναι βεβαίως ἀδύνατο, ἐκτὸς καὶ ἂν τὸ 1 ἀποτελεῖ οὐσιώδη ἰδιομορφία τῆς f.

Πράγματι, ἡ
\displaystyle{ 
f(z)=\mathrm{e}^{-1/(z-1)^2}, 
}
ἔχει τὶς ἀπαιτούμενες ἰδιότητες!

Ἂν λοιπὸν, \mathrm{e}^{-1/(z-1)^2}=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n, τὸτε ἡ \{a_n\} συγκλίνει, μαζὶ μὲ ὅλα τὰ ἐπαναλαμβανόμενά της μερικὰ ἀθροίσματα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης