Συντελεστές Δυναμοσειράς

Soniram89 · #1

$f(z)=\frac{z^2}{z^3+2}=\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$

Ξεκαθαρίζω ότι δεν γνωρίζω τη λύση της άσκησης!!!Μας ζητάει να βρούμε τους συντελεστές $c_{n}$
Ιδέες δικιές μου...
Αν έχω υπολογίσει σωστά οι ρίζες του παρονομαστή είναι:
$\sqrt[3]{2}e^{i\pi }$ , $\sqrt[3]{2}e^{\frac{i\pi }{3}}$ , $\sqrt[3]{2}e^{\frac{i5\pi }{3}}$ .

Οι οποίες δεν μας εμποδίζουν στην ανάλυση της συνάρτησης σε δυναμοσειρά κοντά στο 0, αφού μπορούμε να δουλέψουμε σε κάποιο δισκάκι τοπικά!!!
Επίσης μάλλον κάπου θα χρειαστούμε τη γεωμετρική σειρά:
$\frac{1}{1-w}=1+w+w^{2}+...., \left | w \right |<1$
σκέφτηκα να θέσω:
$w=(-\frac{z^3}{2})$ καθώς $\sqrt[3]{2}>\left | z \right |\Rightarrow \left | -\frac{z^3}{2} \right |<1$

Απο κει και πέρα το χάος, καθώς μου εμφανίζεται σειρά της μορφής: $\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}z^{3n+2}$ .

Ευχαριστώ πολύ!!!

#2

Soniram89 έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 03, 2018 6:06 pm
Απο κει και πέρα το χάος, καθώς μου εμφανίζεται σειρά της μορφής: $\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}z^{3n+2}$ .

Εεεε όχι και χάος. Έφτασες στην πηγή αλλά δεν ήπιες νερό αν και η άσκηση είναι ΠΟΛΛΗ απλή.

Δίνω μόνο την απάντηση ακριβώς γιατί η άσκηση είναι πολλή απλή, ώστε να την επεξεργαστείς μόνος σου.

$\sum_{n=0}^{\infty } \frac {(-1)^ {n}z^{3n+2}} {2^{n+1}}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Soniram89 έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 03, 2018 6:06 pm
$f(z)=\frac{z^2}{z^3+2}=\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$

Ξεκαθαρίζω ότι δεν γνωρίζω τη λύση της άσκησης!!!Μας ζητάει να βρούμε τους συντελεστές $c_{n}$
Ιδέες δικιές μου...
Αν έχω υπολογίσει σωστά οι ρίζες του παρονομαστή είναι:
$\sqrt[3]{2}e^{i\pi }$ , $\sqrt[3]{2}e^{\frac{i\pi }{3}}$ , $\sqrt[3]{2}e^{\frac{i5\pi }{3}}$ .

Οι οποίες δεν μας εμποδίζουν στην ανάλυση της συνάρτησης σε δυναμοσειρά κοντά στο 0, αφού μπορούμε να δουλέψουμε σε κάποιο δισκάκι τοπικά!!!
Επίσης μάλλον κάπου θα χρειαστούμε τη γεωμετρική σειρά:
$\frac{1}{1-w}=1+w+w^{2}+...., \left | w \right |<1$
σκέφτηκα να θέσω:
$w=(-\frac{z^3}{2})$ καθώς $\sqrt[3]{2}>\left | z \right |\Rightarrow \left | -\frac{z^3}{2} \right |<1$

Απο κει και πέρα το χάος, καθώς μου εμφανίζεται σειρά της μορφής: $\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}z^{3n+2}$ .

Ευχαριστώ πολύ!!!

Soniram89 έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 03, 2018 6:06 pm
Ξεκαθαρίζω ότι δεν γνωρίζω τη λύση της άσκησης!!!

Από αυτά που γράφεις παρακάτω φαίνεται ότι μια χαρά την έχεις λύσει αλλά δεν το καταλαβαίνεις.

Soniram89 έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 03, 2018 6:06 pm
Απο κει και πέρα το χάος, καθώς μου εμφανίζεται σειρά της μορφής: $\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}z^{3n+2}$ .

Κανένα χάος.Με λίγη προσοχή τα βρίσκεις.

Με πρόλαβε ο Μιχάλης

Soniram89 · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 03, 2018 6:30 pm

Δίνω μόνο την απάντηση ακριβώς γιατί η άσκηση είναι πολλή απλή, ώστε να την επεξεργαστείς μόνος σου.

$\sum_{n=0}^{\infty } \frac {(-1)^ {n}z^{3n+2}} {2^{n+1}}$ .

Κύριε Παπαδόπουλε και κύριε Λάμπρου σας ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις σας.

Το πρόβλημα μου είναι, ότι η σειρά που δίνεται δεν είναι στην απαιτούμενη μορφή που ζητάει η άσκηση.

Δηλαδή αν το σκέφτομαι σωστά: $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}z^{3n+2}=\frac{1}{2}z^{2}-\frac{1}{2^2}z^{5}+\frac{1}{2^3}z^{8}-\frac{1}{2^4}z^{11}+...$ έχει κάποιους μηδενικούς συντελεστές που δεν βλέπω στην απάντηση σας.

θα ήταν σωστή απάντηση της μορφής: $c_{n}=\left\{\begin{matrix} \frac{(-1)^k}{2^k+1} & n=3k+2\\0 & n\neq 3k+2 \end{matrix}\right.$ ?

επίσης μία ξεκάρφωτη ερώτηση. η $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}z^{3n+2}$ και η $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{2^{n}}z^{3n}$ έχουν την ίδια ακτίνας σύγκλισης? και αν ναι για ποιο λόγο?

edit!!! Προφανώς έχουν ίδια ακτίνα σύγκλισης, χρειάζεται όμως extra απόδειξη? δλδ το ότι προκύπτει με πολλαπλασιασμό πολυωνύμου, μας καλύπτει αν θέλουμε να το ισχυριστούμε??

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Soniram89 έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 04, 2018 12:45 am

θα ήταν σωστή απάντηση της μορφής: $c_{n}=\left\{\begin{matrix} \frac{(-1)^k}{2^k+1} & n=3k+2\\0 & n\neq 3k+2 \end{matrix}\right.$ ?

Αυτή είναι η σωστή απάντηση.Υπάρχει βέβαια τυπογραφικό.

Το σωστό είναι $c_{n}=\left\{\begin{matrix} \frac{(-1)^k}{2^{k+1}} & n=3k+2\\0 & n\neq 3k+2 \end{matrix}\right.$

Soniram89 έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 04, 2018 12:45 am

επίσης μία ξεκάρφωτη ερώτηση. η $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}z^{3n+2}$ και η $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{2^{n}}z^{3n}$ έχουν την ίδια ακτίνας σύγκλισης? και αν ναι για ποιο λόγο?

Θα τις υπολογίσεις και θα τις βρεις $\sqrt[3]{2}$ και τις δύο.
Υπάρχει και άλλος λόγος.Η μία είναι η άλλη επί $\frac{z^{2}}{2}$

Soniram89 · #6

Ευχαριστώ πολύ για τη βοήθεια...Να δώσω και δύο παραλλαγές.

1) $f(z)=\frac{z^2}{z^3+2}=\sum_{0}^{\infty }c_{n}(z-i)^{n}$

2) $f(z)=\frac{cosz}{z^2(z^3+2)}=\sum_{0}^{\infty }c_{n}(z-i)^{n}$

#7

Soniram89 έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 04, 2018 3:32 pm
Ευχαριστώ πολύ για τη βοήθεια...Να δώσω και δύο παραλλαγές.

1) $f(z)=\frac{z^2}{z^3+2}=\sum_{0}^{\infty }c_{n}(z-i)^{n}$

2) $f(z)=\frac{cosz}{z^2(z^3+2)}=\sum_{0}^{\infty }c_{n}(z-i)^{n}$

Τέτοιες ασκήσεις είναι πολύ γνωστές και απλές, που υπάρχουν σε όλα τα βιβλία Μιγαδικής Ανάλυσης.

Θα πρότεινα, αντίστροφα, δώσε μας εσύ τις δικές σου λύσεις.

Soniram89 · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 04, 2018 3:48 pm

Soniram89 έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 04, 2018 3:32 pm
Ευχαριστώ πολύ για τη βοήθεια...Να δώσω και δύο παραλλαγές.

1) $f(z)=\frac{z^2}{z^3+2}=\sum_{0}^{\infty }c_{n}(z-i)^{n}$

2) $f(z)=\frac{cosz}{z^2(z^3+2)}=\sum_{0}^{\infty }c_{n}(z-i)^{n}$
Τέτοιες ασκήσεις είναι πολύ γνωστές και απλές, που υπάρχουν σε όλα τα βιβλία Μιγαδικής Ανάλυσης.

Θα πρότεινα, αντίστροφα, δώσε μας εσύ τις δικές σου λύσεις.

Αυτό έχω σκοπό να κάνω κύριε Λάμπρου, αφού πρώτα σιγουρευτώ για τις λύσεις!!! Προσωπικά δεν μου φαίνονται καθόλου απλές!!!

#9

Soniram89 έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 04, 2018 3:52 pm
Προσωπικά δεν μου φαίνονται καθόλου απλές!!!

H πρώτη που ζήτησες ήταν απλά ισοδύναμη με την γεωμετρική πρόοδο $\frac {1}{1-w} = 1 + w + w^2 +...$ .

Για τις άλλες δεν έχεις παρά να δεις πώς τις επεξεργάζονται τα στάνταρ βιβλία Μιγαδικής. Θα χαρούμε να δούμε
την πρόοδό σου.

Soniram89 · #10

Έχετε δίκιο κύριε Λάμπρου, πολύ κακο για το τίποτα. Η ίδια συνάρτηση αναλύεται σε δυναμοσειρά κοντά στο

.

Το μόνο που χρειάζεται είναι να βρούμε την καινούργια ακτίνα σύγκλισης που προφανώς είναι η απόσταση απο την πλησιέστερη ανωμαλία!!!

$\large R=\left | i-\sqrt[3]{2}e^{\frac{i\pi }{3}} \right |=\sqrt{\sqrt[3]{2}\frac{1}{2}+(\sqrt[3]{2}\frac{\sqrt{3}}{2}-1)^2}$

Επιτρέψτε μου να μην συνεχίσω τις πράξεις γιατί είναι χάσιμο χρόνου!!!

Ευχαριστώ για τη βοήθεια.

Συντελεστές Δυναμοσειράς

Συντελεστές Δυναμοσειράς

Re: Συντελεστές Δυναμοσειράς

Re: Συντελεστές Δυναμοσειράς

Re: Συντελεστές Δυναμοσειράς

Re: Συντελεστές Δυναμοσειράς

Re: Συντελεστές Δυναμοσειράς

Re: Συντελεστές Δυναμοσειράς

Re: Συντελεστές Δυναμοσειράς

Re: Συντελεστές Δυναμοσειράς

Re: Συντελεστές Δυναμοσειράς

Μέλη σε σύνδεση