Εναλλαγή ορίων μιγαδικής συνάρτησης

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2915
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα
Επικοινωνία:

Εναλλαγή ορίων μιγαδικής συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Σεπ 02, 2018 10:19 am

Ισχυρισμός: Αν f:{\mathbb{C}}\longrightarrow{\mathbb{C}} είναι {\mathbb{C}}-παραγωγίσιμη στο z_0=a+bi\in{\mathbb{C}} και οι \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} είναι συνεχείς σε μια περιοχή του z_0 (*), τότε

\displaystyle \frac{d }{dz}f(z)\Big|_{z=z_0}=\mathop{\lim}\limits_{y\to b}\bigg(\mathop{\lim}\limits_{x\to a}\frac{f(x+yi)-f(a+bi)}{x+yi-(a+bi)}\bigg)=\mathop{\lim}\limits_{x\to a}\bigg(\mathop{\lim}\limits_{y\to b}\frac{f(x+yi)-f(a+bi)}{x+yi-(a+bi)}\bigg)\,.

(*) Η συνθήκη για την συνέχεια των μερικών παραγώγων μπορεί να μην είναι απαραίτητη.


Σχόλιο: Οι επιφυλάξεις μου, όσον αφορά την εγκυρότητα του παραπάνω ισχυρισμού, έγκεινται στο ότι δεν γνωρίζουμε κάτι για την παραγωγισιμότητα της f σε μια περιοχή του z_0. Κάποια ιδέα;


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3359
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εναλλαγή ορίων μιγαδικής συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Σεπ 04, 2018 8:29 pm

grigkost έγραψε:
Κυρ Σεπ 02, 2018 10:19 am
Ισχυρισμός: Αν f:{\mathbb{C}}\longrightarrow{\mathbb{C}} είναι {\mathbb{C}}-παραγωγίσιμη στο z_0=a+bi\in{\mathbb{C}} και οι \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} είναι συνεχείς σε μια περιοχή του z_0 (*), τότε

\displaystyle \frac{d }{dz}f(z)\Big|_{z=z_0}=\mathop{\lim}\limits_{y\to b}\bigg(\mathop{\lim}\limits_{x\to a}\frac{f(x+yi)-f(a+bi)}{x+yi-(a+bi)}\bigg)=\mathop{\lim}\limits_{x\to a}\bigg(\mathop{\lim}\limits_{y\to b}\frac{f(x+yi)-f(a+bi)}{x+yi-(a+bi)}\bigg)\,.

(*) Η συνθήκη για την συνέχεια των μερικών παραγώγων μπορεί να μην είναι απαραίτητη.


Σχόλιο: Οι επιφυλάξεις μου, όσον αφορά την εγκυρότητα του παραπάνω ισχυρισμού, έγκεινται στο ότι δεν γνωρίζουμε κάτι για την παραγωγισιμότητα της f σε μια περιοχή του z_0. Κάποια ιδέα;
Αν δεν κάνω λάθος ο ισχυρισμός είναι σωστός και η προυπόθεση είναι να είναι συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή
η συνάρτηση.

Ας το δούμε.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι a+ib=0 καθώς και f(0)=0.

Αφού το f'(0) υπάρχει ισχύουν οι Cauchy-Riemman στο 0.

Δηλαδή αν f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)

τότε u_{x}(0,0)=v_{y}(0,0),u_{y}(0,0)=-v_{x}(0,0)

Εχουμε \lim_{x\rightarrow 0}\lim_{y\rightarrow 0}\frac{u(x,y)}{x+iy}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{u(x,0)}{x}=u_{x}(0,0)

όμοια και για τα άλλα όρια.

Η ισότητα προκύπτει λόγω των συνθηκών Cauchy-Riemman

Σημείωση.Εγινε διόρθωση τυπογραφικού.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2915
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα
Επικοινωνία:

Re: Εναλλαγή ορίων μιγαδικής συνάρτησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τρί Σεπ 04, 2018 9:12 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Σεπ 04, 2018 8:29 pm
...Αφού το f'(0) υπάρχει ισχύουν οι Cauchy-Riemman στο 0.

Δηλαδή αν f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)

τότε u_{x}(0,0)=v_{y}(0,0),u_{y}(0,0)=-v_{x}(0,0)

Εχουμε \lim_{x\rightarrow 0}\lim_{y\rightarrow 0}\frac{u(x,y)}{x+iy}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{u(x,0)}{x}=u_{x}(0,0)

όμοια και για τα άλλα όρια.

Η ισότητα προκύπτει λόγω των συνθηκών Cauchy-Riemman.
Σταύρο,

πολύ ωραία! Το ερώτημα-ισχυρισμός προέκυψε από την αναζήτηση της παραγώγου της συνάρτησης f(z)=2\,\overline{z}-z\,{\overline{z}}^2, εκεί όπου αυτή υπάρχει.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3359
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εναλλαγή ορίων μιγαδικής συνάρτησης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Σεπ 04, 2018 9:52 pm

grigkost έγραψε:
Τρί Σεπ 04, 2018 9:12 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Σεπ 04, 2018 8:29 pm
...Αφού το f'(0) υπάρχει ισχύουν οι Cauchy-Riemman στο 0.

Δηλαδή αν f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)

τότε u_{x}(0,0)=v_{y}(0,0),u_{y}(0,0)=-v_{x}(0,0)

Εχουμε \lim_{x\rightarrow 0}\lim_{y\rightarrow 0}\frac{u(x,y)}{x+iy}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{u(x,0)}{x}=u_{x}(0,0)

όμοια και για τα άλλα όρια.

Η ισότητα προκύπτει λόγω των συνθηκών Cauchy-Riemman.
Σταύρο,

πολύ ωραία! Το ερώτημα-ισχυρισμός προέκυψε από την αναζήτηση της παραγώγου της συνάρτησης f(z)=2\,\overline{z}-z\,{\overline{z}}^2, εκεί όπου αυτή υπάρχει.
Γρηγόρη γεια.

Την συγκεκριμένη εγώ θα την έλυνα ως εξής:

\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=2-2z\bar{z}

Αφού ως προς z,\bar{z} η συνάρτηση είναι συνεχής ,έχει μιγαδική παράγωγο ακριβώς

στα σημεία που είναι \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0.

Δηλαδή στα \left | z \right |=1


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2915
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα
Επικοινωνία:

Re: Εναλλαγή ορίων μιγαδικής συνάρτησης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τρί Σεπ 04, 2018 10:05 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Σεπ 04, 2018 9:52 pm
...Την συγκεκριμένη εγώ θα την έλυνα ως εξής:

\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=2-2z\bar{z}

Αφού ως προς z,\bar{z} η συνάρτηση είναι συνεχής ,έχει μιγαδική παράγωγο ακριβώς

στα σημεία που είναι \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0.

Δηλαδή στα \left | z \right |=1
Σταύρο,

το ζητούμενο είναι η εύρεση της παραγώγου (εκεί όπου υπάρχει). Το που είναι παραγωγίσιμη -σωστό το |z|=1- είναι τυπικό.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3359
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εναλλαγή ορίων μιγαδικής συνάρτησης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Σεπ 04, 2018 10:13 pm

grigkost έγραψε:
Τρί Σεπ 04, 2018 10:05 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Σεπ 04, 2018 9:52 pm
...Την συγκεκριμένη εγώ θα την έλυνα ως εξής:

\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=2-2z\bar{z}

Αφού ως προς z,\bar{z} η συνάρτηση είναι συνεχής ,έχει μιγαδική παράγωγο ακριβώς

στα σημεία που είναι \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0.

Δηλαδή στα \left | z \right |=1
Σταύρο,

το ζητούμενο είναι η εύρεση της παραγώγου (εκεί όπου υπάρχει). Το που είναι παραγωγίσιμη -σωστό το |z|=1- είναι τυπικό.
Εκεί που υπάρχει είναι \frac{\partial f}{\partial z}.

Δηλαδή η απάντηση είναι ότι

f'(z)=-(\bar{z})^{2} όταν \left | z \right |=1


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης