Πυρήνες Riesz

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

v2gls
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Τετ Δεκ 16, 2015 9:39 pm

Πυρήνες Riesz

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από v2gls » Παρ Αύγ 31, 2018 5:00 pm

Θα ήθελα τη γνώμη/υπόδειξή σας στο εξής :
Ως πυρήνα Riesz εννοούμε την συνάρτηση  k_a(x)= \frac{1}{|x|^{d-a}} \, για\, 0<a<d\, για  x\in\mathbb{R}^{d} .
Επίσης έστω  \mu μέτρο πιθανότητας στον \mathbb{R}^{d} με πυκνότητα f\in L^p(\mathbb{R}^{d}) για p>\frac{d}{a} και supp(f) συμπαγές.

Να δειχθεί ότι 1) \lim \limits_{|x| \to \infty} \displaystyle{\int \frac{1}{|x-y|^{d-a}} d\mu(y) = 0}


και 2) θέτουμε, για x\in\mathbb{R}^{d}, \, V(x)= - \displaystyle{\int \frac{1}{|x-y|^{d-a}} d \mu(y)} + [\,|x|-R\,]_{+}

όπου R τέτοιο ώστε  supp(\mu)\subset B(0,R) . Να δειχθεί ότι \int\exp(-V(x))dx < +\infty



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3307
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πυρήνες Riesz

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Σεπ 01, 2018 6:08 pm

v2gls έγραψε:
Παρ Αύγ 31, 2018 5:00 pm
Θα ήθελα τη γνώμη/υπόδειξή σας στο εξής :
Ως πυρήνα Riesz εννοούμε την συνάρτηση  k_a(x)= \frac{1}{|x|^{d-a}} \, για\, 0<a<d\, για  x\in\mathbb{R}^{d} .
Επίσης έστω  \mu μέτρο πιθανότητας στον \mathbb{R}^{d} με πυκνότητα f\in L^p(\mathbb{R}^{d}) για p>\frac{d}{a} και supp(f) συμπαγές.

Να δειχθεί ότι 1) \lim \limits_{|x| \to \infty} \displaystyle{\int \frac{1}{|x-y|^{d-a}} d\mu(y) = 0}


και 2) θέτουμε, για x\in\mathbb{R}^{d}, \, V(x)= - \displaystyle{\int \frac{1}{|x-y|^{d-a}} d \mu(y)} + [\,|x|-R\,]_{+}

όπου R τέτοιο ώστε  supp(\mu)\subset B(0,R) . Να δειχθεί ότι \int\exp(-V(x))dx < +\infty
Νομίζω ότι μπορείς να το αντιμετωπίσεις και μόνος σου.
Γράψε τις σκέψεις σου και εδώ είμαστε.


v2gls
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Τετ Δεκ 16, 2015 9:39 pm

Re: Πυρήνες Riesz

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από v2gls » Κυρ Σεπ 02, 2018 9:47 pm

Για το 1) αν q ο συζυγής εκθέτης του p  |\int_{supp(f)} \frac{1}{|x-y|^{d-a}} f(y)dy | \leqslant ({\int_{s(f)} \frac{1}{|x-y|^{(d-a)q}}dy })^{\frac{1}{q}} (\int_{s(f)} {|f|}^{p})^{\frac{1}{p}}
όπου το δεύτερο ολοκλήρωμα είναι πεπερασμένο από υπόθεση.
Ενώ για το πρώτο έχουμε :
 0\leqslant {\int_{s(f)} \frac{1}{|x-y|^{(d-a)q}}dy } \leqslant {\int_{B(0,r)} \frac{1}{|x-y|^{(d-a)q}}dy } = O(\frac{1}{{|x|}^{(d-a)q}}) όπου η δεύτερη ανισότητα ισχύει επειδή η f έχει συμπαγή φορέα και τελευταία ισότητα προκύπτει από το αντίστοιχο ανάπτυγμα σε σειρά.
και άρα  \lim \limits_{|x| \to \infty} {\int_{s(f)} \frac{1}{|x-y|^{(d-a)q}}dy } = 0

Για το 2) με πράξεις μπορούμε να δείξουμε ότι \int\exp(-V(x))dx \leqslant \int_{\mathbb{R}^{d}} \exp{( \displaystyle{\int \frac{1}{|x-y|^{d-a}} d \mu(y)}}) dx και μετά μάλλον πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το 1 ;; ίσως χρειάζεται και μια jensen για εναλλαγή του εκθετικού με το δεύτερο ολοκλήρωμα ;;


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3307
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πυρήνες Riesz

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Σεπ 03, 2018 12:46 am

v2gls έγραψε:
Κυρ Σεπ 02, 2018 9:47 pm
Για το 1) αν q ο συζυγής εκθέτης του p  |\int_{supp(f)} \frac{1}{|x-y|^{d-a}} f(y)dy | \leqslant ({\int_{s(f)} \frac{1}{|x-y|^{(d-a)q}}dy })^{\frac{1}{q}} (\int_{s(f)} {|f|}^{p})^{\frac{1}{p}}
όπου το δεύτερο ολοκλήρωμα είναι πεπερασμένο από υπόθεση.
Ενώ για το πρώτο έχουμε :
 0\leqslant {\int_{s(f)} \frac{1}{|x-y|^{(d-a)q}}dy } \leqslant {\int_{B(0,r)} \frac{1}{|x-y|^{(d-a)q}}dy } = O(\frac{1}{{|x|}^{(d-a)q}}) όπου η δεύτερη ανισότητα ισχύει επειδή η f έχει συμπαγή φορέα και τελευταία ισότητα προκύπτει από το αντίστοιχο ανάπτυγμα σε σειρά.
και άρα  \lim \limits_{|x| \to \infty} {\int_{s(f)} \frac{1}{|x-y|^{(d-a)q}}dy } = 0

Για το 2) με πράξεις μπορούμε να δείξουμε ότι \int\exp(-V(x))dx \leqslant \int_{\mathbb{R}^{d}} \exp{( \displaystyle{\int \frac{1}{|x-y|^{d-a}} d \mu(y)}}) dx και μετά μάλλον πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το 1 ;; ίσως χρειάζεται και μια jensen για εναλλαγή του εκθετικού με το δεύτερο ολοκλήρωμα ;;
Το 1) σωστά το έχεις.
Να σημειώσω ότι δεν χρειάζεται καν ότι το μέτρο είναι απόλυτα συνεχές.Αρκεί να έχει συμπαγή φορέα.
Φυσικά η απόδειξη θα αλλάξει .
Αν supp(\mu )\subseteq B(0,r)
τότε για \left | x \right |\geq 2r είναι
\int \frac{d\mu (y)}{\left | x-y \right |^{d-a}}\leq \frac{1}{(\left | x \right |-r)^{d-a}}
και το παίρνουμε άμεσα.
Για το 2) χρειάζεται η υπόθεση ότι το μέτρο είναι συνεχές και η εκτίμηση που έκανες παραπάνω.Ξέχασες και τον δεύτερο όρο.
Προσπάθησε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες