Ομοιόμορφα σε αύξουσα συνάρτηση

Tolaso J Kos · #1

Αποδείξατε ότι η $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n (x +n)}}$ συγκλίνει στο [0, a]

με

ομοιόμορφα σε μία αύξουσα συνάρτηση.

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 15, 2018 1:57 pm
Αποδείξατε ότι η $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n (x +n)}}$ συγκλίνει στο με ομοιόμορφα σε μία αύξουσα συνάρτηση.

Είναι $\displaystyle{0\le \frac{x}{n (x +n)}} \le \frac{x}{n^2}} \le \frac{a}{n^2}}}$ , οπότε η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα από κριτήριο Weierstrass. Επίσης, επειδή κάθε προσθετέος είναι αύξουσα συνάρτηση του

(άμεσο από $\displaystyle{\frac{x}{n (x +n)}} = \frac{1}{n} -\frac{1}{x +n}}$ ) , και το άθροισμα είναι αύξουσα.

Tolaso J Kos · #3

Σωστά. Ήταν θέμα εξετάσεων. Ας το δούμε λίγο πιο διεξοδικά το άθροισμα:

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x}{n \left ( x+n \right )} &= \sum_{n=1}^{\infty} \left ( \frac{1}{n} - \frac{1}{x+n} \right ) \\ &= \mathcal{H}_x\\ &= \psi^{(0)}(x+1) + \gamma \end{aligned}}$
Άρα η συνάρτηση που συγκλίνει η σειρά δεν είναι καμία άλλη από τη γνωστή μας διγάμμα η οποία όντως είναι αύξουσα.

: 5b5121dc-6a94-4ed9-8e74-a1e25cc774e1.png (8.47 KiB) Προβλήθηκε 537 φορές

Ομοιόμορφα σε αύξουσα συνάρτηση

Ομοιόμορφα σε αύξουσα συνάρτηση

Re: Ομοιόμορφα σε αύξουσα συνάρτηση

Re: Ομοιόμορφα σε αύξουσα συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση