Ολοκλήρωμα...

M.S.Vovos · #1

Ένα ολοκλήρωμα που προέκυψε ψάχνοντας στο διαδίκτυο.

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:
$\displaystyle{\mathcal{J}=\int_{0}^{1}\ln x\ln (1-x)\textup{d}x}$ Φιλικά,
Μάριος

Υ.Γ. Ελπίζω να μην έχει ξανασυζητηθεί.

Tolaso J Kos · #2

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 07, 2018 3:17 pm
Ένα ολοκλήρωμα που προέκυψε ψάχνοντας στο διαδίκτυο.

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:
$\displaystyle{\mathcal{J}=\int_{0}^{1}\ln x\ln (1-x)\textup{d}x}$ Φιλικά,
Μάριος

Υ.Γ. Ελπίζω να μην έχει ξανασυζητηθεί.

Λίγο δύσκολο να μην είχε ξανά συζητηθεί το συγκεκριμένο. Το χα προτείνει προσωπικά πριν χρόνια. Από το να ψάξω να το βρω προτιμώ να γράψω μία λύση.

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{J} &= \int_{0}^{1} \ln x \ln \left ( 1-x \right ) \, \mathrm{d}x\\ &=-\int_{0}^{1} \ln x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} \, \mathrm{d}x \\ &=- \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \int_{0}^{1} x^n \ln x \, \mathrm{d}x \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \left ( n+1 \right )^2} \\ &=\sum_{n=1}^{\infty} \left [ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{(n+1)^2} \right ] \\ &= \cancelto{1}{\sum_{n=1}^{\infty} \left [ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right ]} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left ( n+1 \right )^2} \\ & = 1 - \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2} \\ & = 1 - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} + 1 \\ & = 2 - \zeta(2) \\ & = 2 - \frac{\pi^2}{6} \end{aligned} }$

M.S.Vovos · #3

Ναι Τόλη αυτή τη λύση είχα και εγώ στο μυαλό μου. Ομορφουλικο είναι κατά τη γνώμη μου.

Ολοκλήρωμα...

Ολοκλήρωμα...

Re: Ολοκλήρωμα...

Re: Ολοκλήρωμα...

Μέλη σε σύνδεση